対称式の基本定理を具体例で計算してみた

2024年の10月から秋葉原ロボット部の「ガロア理論の頂を踏む」読書会に参加していますが、3章1節を担当しました。この節は多項式の対称式¹は基本対称式²で表すことができるという対称式の基本定理を解説しています。

ただしきっちり証明するのではなく$x^6*y^4*z^3*w$を含む対称式を基本対称式で表すと言う具体例を示すことで納得してくださいという書き方になっています。またその手順も全ては書いてないので実際にやってみました。

手計算では厳しいのでブラウザで使えるツールを使用しました。

本の通り項を順にキャンセルしていくのですが特に最初の方では項の数が多いためキャンセルする項を見落としそうだったので、可能性のある指数の組み合わせをリストアップする簡単なプログラムを作りました。

D:\sdy\20241016_ガロア理論の頂>poly2
n3,n2,n1,n0:6 4 3 1
6431
6422
6332
5540●
5531
5522
5441
5432
5333
4442
4433

今回の例では指数は6,4,3,1から始まるのでその合計値14は変わらず、左側の指数が右隣の指数と等しいか大きいものだけを出力しています。実際に項のキャンセルをしていくと5540だけは出現しなかったので●をつけてあります。

以下SageMathCellの入力と出力を載せておきます。最初の方は項の数が多かったのが次第にキャンセルされて減って行き最後0になるのが分かると思います。

6431>6422>6332>5540●>5531>5522>5441>5432>5333>4442>4433
6431から始める
x^6y^4z^3w = (xyzw)(xyz)^2*(xy)x^2 -> e4e3^2e2e1^2

f(x,y,z,w) = x^6*y^4*z^3*w + x^6*y^4*z*w^3 + x^6*y^3*z^4*w + x^6*y^3*z*w^4 + x^6*y*z^4*w^3 + x^6*y*z^3*w^4 + x^4*y^6*z^3*w + x^4*y^6*z*w^3 + x^4*y^3*z^6*w + x^4*y^3*z*w^6 + x^4*y*z^6*w^3 + x^4*y*z^3*w^6 + x^3*y^6*z^4*w + x^3*y^6*z*w^4 + x^3*y^4*z^6*w + x^3*y^4*z*w^6 + x^3*y*z^6*w^4 + x^3*y*z^4*w^6 + x*y^6*z^4*w^3 + x*y^6*z^3*w^4 + x*y^4*z^6*w^3 + x*y^4*z^3*w^6 + x*y^3*z^6*w^4 + x*y^3*z^4*w^6
e1(x,y,z,w) = x+y+z+w
e2(x,y,z,w) = x*y + x*z + x*w + y*z + y*w + z*w
e3(x,y,z,w) = x*y*z + x*y*w + x*z*w + y*z*w
e4(x,y,z,w) = x*y*z*w
g(x,y,z,w) = f(x,y,z,w) - e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^2
g(x,y,z,w).expand()

-2*w^5*x^5*y^3*z - 5*w^5*x^4*y^4*z - 5*w^4*x^5*y^4*z - 2*w^5*x^3*y^5*z - 5*w^4*x^4*y^5*z - 2*w^3*x^5*y^5*z - 2*w^6*x^4*y^2*z^2 - 4*w^5*x^5*y^2*z^2 - 2*w^4*x^6*y^2*z^2 - 5*w^6*x^3*y^3*z^2 - 21*w^5*x^4*y^3*z^2 - 21*w^4*x^5*y^3*z^2 - 5*w^3*x^6*y^3*z^2 - 2*w^6*x^2*y^4*z^2 - 21*w^5*x^3*y^4*z^2 - 42*w^4*x^4*y^4*z^2 - 21*w^3*x^5*y^4*z^2 - 2*w^2*x^6*y^4*z^2 - 4*w^5*x^2*y^5*z^2 - 21*w^4*x^3*y^5*z^2 - 21*w^3*x^4*y^5*z^2 - 4*w^2*x^5*y^5*z^2 - 2*w^4*x^2*y^6*z^2 - 5*w^3*x^3*y^6*z^2 - 2*w^2*x^4*y^6*z^2 - 2*w^5*x^5*y*z^3 - 5*w^6*x^3*y^2*z^3 - 21*w^5*x^4*y^2*z^3 - 21*w^4*x^5*y^2*z^3 - 5*w^3*x^6*y^2*z^3 - 5*w^6*x^2*y^3*z^3 - 42*w^5*x^3*y^3*z^3 - 80*w^4*x^4*y^3*z^3 - 42*w^3*x^5*y^3*z^3 - 5*w^2*x^6*y^3*z^3 - 21*w^5*x^2*y^4*z^3 - 80*w^4*x^3*y^4*z^3 - 80*w^3*x^4*y^4*z^3 - 21*w^2*x^5*y^4*z^3 - 2*w^5*x*y^5*z^3 - 21*w^4*x^2*y^5*z^3 - 42*w^3*x^3*y^5*z^3 - 21*w^2*x^4*y^5*z^3 - 2*w*x^5*y^5*z^3 - 5*w^3*x^2*y^6*z^3 - 5*w^2*x^3*y^6*z^3 - 5*w^5*x^4*y*z^4 - 5*w^4*x^5*y*z^4 - 2*w^6*x^2*y^2*z^4 - 21*w^5*x^3*y^2*z^4 - 42*w^4*x^4*y^2*z^4 - 21*w^3*x^5*y^2*z^4 - 2*w^2*x^6*y^2*z^4 - 21*w^5*x^2*y^3*z^4 - 80*w^4*x^3*y^3*z^4 - 80*w^3*x^4*y^3*z^4 - 21*w^2*x^5*y^3*z^4 - 5*w^5*x*y^4*z^4 - 42*w^4*x^2*y^4*z^4 - 80*w^3*x^3*y^4*z^4 - 42*w^2*x^4*y^4*z^4 - 5*w*x^5*y^4*z^4 - 5*w^4*x*y^5*z^4 - 21*w^3*x^2*y^5*z^4 - 21*w^2*x^3*y^5*z^4 - 5*w*x^4*y^5*z^4 - 2*w^2*x^2*y^6*z^4 - 2*w^5*x^3*y*z^5 - 5*w^4*x^4*y*z^5 - 2*w^3*x^5*y*z^5 - 4*w^5*x^2*y^2*z^5 - 21*w^4*x^3*y^2*z^5 - 21*w^3*x^4*y^2*z^5 - 4*w^2*x^5*y^2*z^5 - 2*w^5*x*y^3*z^5 - 21*w^4*x^2*y^3*z^5 - 42*w^3*x^3*y^3*z^5 - 21*w^2*x^4*y^3*z^5 - 2*w*x^5*y^3*z^5 - 5*w^4*x*y^4*z^5 - 21*w^3*x^2*y^4*z^5 - 21*w^2*x^3*y^4*z^5 - 5*w*x^4*y^4*z^5 - 2*w^3*x*y^5*z^5 - 4*w^2*x^2*y^5*z^5 - 2*w*x^3*y^5*z^5 - 2*w^4*x^2*y^2*z^6 - 5*w^3*x^3*y^2*z^6 - 2*w^2*x^4*y^2*z^6 - 5*w^3*x^2*y^3*z^6 - 5*w^2*x^3*y^3*z^6 - 2*w^2*x^2*y^4*z^6

6431>6422>6332>5540●>5531>5522>5441>5432>5333>4442>4433
次は6422で係数は-2なので+2倍して足す
x^6y^4z^2w^2 = (xyzw)^2(xy)^2x^2 -> e4^2e2^2*e1^2

f(x,y,z,w) = x^6*y^4*z^3*w + x^6*y^4*z*w^3 + x^6*y^3*z^4*w + x^6*y^3*z*w^4 + x^6*y*z^4*w^3 + x^6*y*z^3*w^4 + x^4*y^6*z^3*w + x^4*y^6*z*w^3 + x^4*y^3*z^6*w + x^4*y^3*z*w^6 + x^4*y*z^6*w^3 + x^4*y*z^3*w^6 + x^3*y^6*z^4*w + x^3*y^6*z*w^4 + x^3*y^4*z^6*w + x^3*y^4*z*w^6 + x^3*y*z^6*w^4 + x^3*y*z^4*w^6 + x*y^6*z^4*w^3 + x*y^6*z^3*w^4 + x*y^4*z^6*w^3 + x*y^4*z^3*w^6 + x*y^3*z^6*w^4 + x*y^3*z^4*w^6
e1(x,y,z,w) = x+y+z+w
e2(x,y,z,w) = x*y + x*z + x*w + y*z + y*w + z*w
e3(x,y,z,w) = x*y*z + x*y*w + x*z*w + y*z*w
e4(x,y,z,w) = x*y*z*w
g(x,y,z,w) = f(x,y,z,w) - e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^2   + 2*e4(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^2*e1(x,y,z,w)^2
g(x,y,z,w).expand()

-2*w^5*x^5*y^3*z - 5*w^5*x^4*y^4*z - 5*w^4*x^5*y^4*z - 2*w^5*x^3*y^5*z - 5*w^4*x^4*y^5*z - 2*w^3*x^5*y^5*z - w^6*x^3*y^3*z^2 - 5*w^5*x^4*y^3*z^2 - 5*w^4*x^5*y^3*z^2 - w^3*x^6*y^3*z^2 - 5*w^5*x^3*y^4*z^2 - 12*w^4*x^4*y^4*z^2 - 5*w^3*x^5*y^4*z^2 - 5*w^4*x^3*y^5*z^2 - 5*w^3*x^4*y^5*z^2 - w^3*x^3*y^6*z^2 - 2*w^5*x^5*y*z^3 - w^6*x^3*y^2*z^3 - 5*w^5*x^4*y^2*z^3 - 5*w^4*x^5*y^2*z^3 - w^3*x^6*y^2*z^3 - w^6*x^2*y^3*z^3 - 6*w^5*x^3*y^3*z^3 - 12*w^4*x^4*y^3*z^3 - 6*w^3*x^5*y^3*z^3 - w^2*x^6*y^3*z^3 - 5*w^5*x^2*y^4*z^3 - 12*w^4*x^3*y^4*z^3 - 12*w^3*x^4*y^4*z^3 - 5*w^2*x^5*y^4*z^3 - 2*w^5*x*y^5*z^3 - 5*w^4*x^2*y^5*z^3 - 6*w^3*x^3*y^5*z^3 - 5*w^2*x^4*y^5*z^3 - 2*w*x^5*y^5*z^3 - w^3*x^2*y^6*z^3 - w^2*x^3*y^6*z^3 - 5*w^5*x^4*y*z^4 - 5*w^4*x^5*y*z^4 - 5*w^5*x^3*y^2*z^4 - 12*w^4*x^4*y^2*z^4 - 5*w^3*x^5*y^2*z^4 - 5*w^5*x^2*y^3*z^4 - 12*w^4*x^3*y^3*z^4 - 12*w^3*x^4*y^3*z^4 - 5*w^2*x^5*y^3*z^4 - 5*w^5*x*y^4*z^4 - 12*w^4*x^2*y^4*z^4 - 12*w^3*x^3*y^4*z^4 - 12*w^2*x^4*y^4*z^4 - 5*w*x^5*y^4*z^4 - 5*w^4*x*y^5*z^4 - 5*w^3*x^2*y^5*z^4 - 5*w^2*x^3*y^5*z^4 - 5*w*x^4*y^5*z^4 - 2*w^5*x^3*y*z^5 - 5*w^4*x^4*y*z^5 - 2*w^3*x^5*y*z^5 - 5*w^4*x^3*y^2*z^5 - 5*w^3*x^4*y^2*z^5 - 2*w^5*x*y^3*z^5 - 5*w^4*x^2*y^3*z^5 - 6*w^3*x^3*y^3*z^5 - 5*w^2*x^4*y^3*z^5 - 2*w*x^5*y^3*z^5 - 5*w^4*x*y^4*z^5 - 5*w^3*x^2*y^4*z^5 - 5*w^2*x^3*y^4*z^5 - 5*w*x^4*y^4*z^5 - 2*w^3*x*y^5*z^5 - 2*w*x^3*y^5*z^5 - w^3*x^3*y^2*z^6 - w^3*x^2*y^3*z^6 - w^2*x^3*y^3*z^6

6431>6422>6332>5540●>5531>5522>5441>5432>5333>4442>4433
次は6332で係数は-1なので+1倍して足す
x^6y^3z^3w^2 = (xyzw)^2(xyz)x^3 -> e4^2e3*e1^3

f(x,y,z,w) = x^6*y^4*z^3*w + x^6*y^4*z*w^3 + x^6*y^3*z^4*w + x^6*y^3*z*w^4 + x^6*y*z^4*w^3 + x^6*y*z^3*w^4 + x^4*y^6*z^3*w + x^4*y^6*z*w^3 + x^4*y^3*z^6*w + x^4*y^3*z*w^6 + x^4*y*z^6*w^3 + x^4*y*z^3*w^6 + x^3*y^6*z^4*w + x^3*y^6*z*w^4 + x^3*y^4*z^6*w + x^3*y^4*z*w^6 + x^3*y*z^6*w^4 + x^3*y*z^4*w^6 + x*y^6*z^4*w^3 + x*y^6*z^3*w^4 + x*y^4*z^6*w^3 + x*y^4*z^3*w^6 + x*y^3*z^6*w^4 + x*y^3*z^4*w^6
e1(x,y,z,w) = x+y+z+w
e2(x,y,z,w) = x*y + x*z + x*w + y*z + y*w + z*w
e3(x,y,z,w) = x*y*z + x*y*w + x*z*w + y*z*w
e4(x,y,z,w) = x*y*z*w
g(x,y,z,w) = f(x,y,z,w) - e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^2   + 2*e4(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^2*e1(x,y,z,w)^2  + e4(x,y,z,w)^2*e3(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^3
g(x,y,z,w).expand()

-2*w^5*x^5*y^3*z - 5*w^5*x^4*y^4*z - 5*w^4*x^5*y^4*z - 2*w^5*x^3*y^5*z - 5*w^4*x^4*y^5*z - 2*w^3*x^5*y^5*z - 2*w^5*x^4*y^3*z^2 - 2*w^4*x^5*y^3*z^2 - 2*w^5*x^3*y^4*z^2 - 6*w^4*x^4*y^4*z^2 - 2*w^3*x^5*y^4*z^2 - 2*w^4*x^3*y^5*z^2 - 2*w^3*x^4*y^5*z^2 - 2*w^5*x^5*y*z^3 - 2*w^5*x^4*y^2*z^3 - 2*w^4*x^5*y^2*z^3 + 4*w^5*x^3*y^3*z^3 + 6*w^4*x^4*y^3*z^3 + 4*w^3*x^5*y^3*z^3 - 2*w^5*x^2*y^4*z^3 + 6*w^4*x^3*y^4*z^3 + 6*w^3*x^4*y^4*z^3 - 2*w^2*x^5*y^4*z^3 - 2*w^5*x*y^5*z^3 - 2*w^4*x^2*y^5*z^3 + 4*w^3*x^3*y^5*z^3 - 2*w^2*x^4*y^5*z^3 - 2*w*x^5*y^5*z^3 - 5*w^5*x^4*y*z^4 - 5*w^4*x^5*y*z^4 - 2*w^5*x^3*y^2*z^4 - 6*w^4*x^4*y^2*z^4 - 2*w^3*x^5*y^2*z^4 - 2*w^5*x^2*y^3*z^4 + 6*w^4*x^3*y^3*z^4 + 6*w^3*x^4*y^3*z^4 - 2*w^2*x^5*y^3*z^4 - 5*w^5*x*y^4*z^4 - 6*w^4*x^2*y^4*z^4 + 6*w^3*x^3*y^4*z^4 - 6*w^2*x^4*y^4*z^4 - 5*w*x^5*y^4*z^4 - 5*w^4*x*y^5*z^4 - 2*w^3*x^2*y^5*z^4 - 2*w^2*x^3*y^5*z^4 - 5*w*x^4*y^5*z^4 - 2*w^5*x^3*y*z^5 - 5*w^4*x^4*y*z^5 - 2*w^3*x^5*y*z^5 - 2*w^4*x^3*y^2*z^5 - 2*w^3*x^4*y^2*z^5 - 2*w^5*x*y^3*z^5 - 2*w^4*x^2*y^3*z^5 + 4*w^3*x^3*y^3*z^5 - 2*w^2*x^4*y^3*z^5 - 2*w*x^5*y^3*z^5 - 5*w^4*x*y^4*z^5 - 2*w^3*x^2*y^4*z^5 - 2*w^2*x^3*y^4*z^5 - 5*w*x^4*y^4*z^5 - 2*w^3*x*y^5*z^5 - 2*w*x^3*y^5*z^5

6431>6422>6332>5540●>5531>5522>5441>5432>5333>4442>4433
次は●5540はなく5531で係数は-2なので+2倍して足す
x^5y^3z^3w = (xyzw)(xyz)^2*(xy)^2 -> e4e3^2e2^2

f(x,y,z,w) = x^6*y^4*z^3*w + x^6*y^4*z*w^3 + x^6*y^3*z^4*w + x^6*y^3*z*w^4 + x^6*y*z^4*w^3 + x^6*y*z^3*w^4 + x^4*y^6*z^3*w + x^4*y^6*z*w^3 + x^4*y^3*z^6*w + x^4*y^3*z*w^6 + x^4*y*z^6*w^3 + x^4*y*z^3*w^6 + x^3*y^6*z^4*w + x^3*y^6*z*w^4 + x^3*y^4*z^6*w + x^3*y^4*z*w^6 + x^3*y*z^6*w^4 + x^3*y*z^4*w^6 + x*y^6*z^4*w^3 + x*y^6*z^3*w^4 + x*y^4*z^6*w^3 + x*y^4*z^3*w^6 + x*y^3*z^6*w^4 + x*y^3*z^4*w^6
e1(x,y,z,w) = x+y+z+w
e2(x,y,z,w) = x*y + x*z + x*w + y*z + y*w + z*w
e3(x,y,z,w) = x*y*z + x*y*w + x*z*w + y*z*w
e4(x,y,z,w) = x*y*z*w
g(x,y,z,w) = f(x,y,z,w) - e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^2   + 2*e4(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^2*e1(x,y,z,w)^2  + e4(x,y,z,w)^2*e3(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^3  + 2*e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^2
g(x,y,z,w).expand()

-w^5*x^4*y^4*z - w^4*x^5*y^4*z - w^4*x^4*y^5*z + 4*w^5*x^5*y^2*z^2 + 14*w^5*x^4*y^3*z^2 + 14*w^4*x^5*y^3*z^2 + 14*w^5*x^3*y^4*z^2 + 30*w^4*x^4*y^4*z^2 + 14*w^3*x^5*y^4*z^2 + 4*w^5*x^2*y^5*z^2 + 14*w^4*x^3*y^5*z^2 + 14*w^3*x^4*y^5*z^2 + 4*w^2*x^5*y^5*z^2 + 14*w^5*x^4*y^2*z^3 + 14*w^4*x^5*y^2*z^3 + 34*w^5*x^3*y^3*z^3 + 74*w^4*x^4*y^3*z^3 + 34*w^3*x^5*y^3*z^3 + 14*w^5*x^2*y^4*z^3 + 74*w^4*x^3*y^4*z^3 + 74*w^3*x^4*y^4*z^3 + 14*w^2*x^5*y^4*z^3 + 14*w^4*x^2*y^5*z^3 + 34*w^3*x^3*y^5*z^3 + 14*w^2*x^4*y^5*z^3 - w^5*x^4*y*z^4 - w^4*x^5*y*z^4 + 14*w^5*x^3*y^2*z^4 + 30*w^4*x^4*y^2*z^4 + 14*w^3*x^5*y^2*z^4 + 14*w^5*x^2*y^3*z^4 + 74*w^4*x^3*y^3*z^4 + 74*w^3*x^4*y^3*z^4 + 14*w^2*x^5*y^3*z^4 - w^5*x*y^4*z^4 + 30*w^4*x^2*y^4*z^4 + 74*w^3*x^3*y^4*z^4 + 30*w^2*x^4*y^4*z^4 - w*x^5*y^4*z^4 - w^4*x*y^5*z^4 + 14*w^3*x^2*y^5*z^4 + 14*w^2*x^3*y^5*z^4 - w*x^4*y^5*z^4 - w^4*x^4*y*z^5 + 4*w^5*x^2*y^2*z^5 + 14*w^4*x^3*y^2*z^5 + 14*w^3*x^4*y^2*z^5 + 4*w^2*x^5*y^2*z^5 + 14*w^4*x^2*y^3*z^5 + 34*w^3*x^3*y^3*z^5 + 14*w^2*x^4*y^3*z^5 - w^4*x*y^4*z^5 + 14*w^3*x^2*y^4*z^5 + 14*w^2*x^3*y^4*z^5 - w*x^4*y^4*z^5 + 4*w^2*x^2*y^5*z^5

6431>6422>6332>5540●>5531>5522>5441>5432>5333>4442>4433
次は5522で係数は+4なので-4倍して足す
x^5y^5z^2w^2 = (xyzw)^2(xy)^3 -> e4^2*e2^3

f(x,y,z,w) = x^6*y^4*z^3*w + x^6*y^4*z*w^3 + x^6*y^3*z^4*w + x^6*y^3*z*w^4 + x^6*y*z^4*w^3 + x^6*y*z^3*w^4 + x^4*y^6*z^3*w + x^4*y^6*z*w^3 + x^4*y^3*z^6*w + x^4*y^3*z*w^6 + x^4*y*z^6*w^3 + x^4*y*z^3*w^6 + x^3*y^6*z^4*w + x^3*y^6*z*w^4 + x^3*y^4*z^6*w + x^3*y^4*z*w^6 + x^3*y*z^6*w^4 + x^3*y*z^4*w^6 + x*y^6*z^4*w^3 + x*y^6*z^3*w^4 + x*y^4*z^6*w^3 + x*y^4*z^3*w^6 + x*y^3*z^6*w^4 + x*y^3*z^4*w^6
e1(x,y,z,w) = x+y+z+w
e2(x,y,z,w) = x*y + x*z + x*w + y*z + y*w + z*w
e3(x,y,z,w) = x*y*z + x*y*w + x*z*w + y*z*w
e4(x,y,z,w) = x*y*z*w
g(x,y,z,w) = f(x,y,z,w) - e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^2   + 2*e4(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^2*e1(x,y,z,w)^2  + e4(x,y,z,w)^2*e3(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^3  + 2*e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^2  -4*e4(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^3
g(x,y,z,w).expand()

-w^5*x^4*y^4*z - w^4*x^5*y^4*z - w^4*x^4*y^5*z + 2*w^5*x^4*y^3*z^2 + 2*w^4*x^5*y^3*z^2 + 2*w^5*x^3*y^4*z^2 + 6*w^4*x^4*y^4*z^2 + 2*w^3*x^5*y^4*z^2 + 2*w^4*x^3*y^5*z^2 + 2*w^3*x^4*y^5*z^2 + 2*w^5*x^4*y^2*z^3 + 2*w^4*x^5*y^2*z^3 + 10*w^5*x^3*y^3*z^3 + 14*w^4*x^4*y^3*z^3 + 10*w^3*x^5*y^3*z^3 + 2*w^5*x^2*y^4*z^3 + 14*w^4*x^3*y^4*z^3 + 14*w^3*x^4*y^4*z^3 + 2*w^2*x^5*y^4*z^3 + 2*w^4*x^2*y^5*z^3 + 10*w^3*x^3*y^5*z^3 + 2*w^2*x^4*y^5*z^3 - w^5*x^4*y*z^4 - w^4*x^5*y*z^4 + 2*w^5*x^3*y^2*z^4 + 6*w^4*x^4*y^2*z^4 + 2*w^3*x^5*y^2*z^4 + 2*w^5*x^2*y^3*z^4 + 14*w^4*x^3*y^3*z^4 + 14*w^3*x^4*y^3*z^4 + 2*w^2*x^5*y^3*z^4 - w^5*x*y^4*z^4 + 6*w^4*x^2*y^4*z^4 + 14*w^3*x^3*y^4*z^4 + 6*w^2*x^4*y^4*z^4 - w*x^5*y^4*z^4 - w^4*x*y^5*z^4 + 2*w^3*x^2*y^5*z^4 + 2*w^2*x^3*y^5*z^4 - w*x^4*y^5*z^4 - w^4*x^4*y*z^5 + 2*w^4*x^3*y^2*z^5 + 2*w^3*x^4*y^2*z^5 + 2*w^4*x^2*y^3*z^5 + 10*w^3*x^3*y^3*z^5 + 2*w^2*x^4*y^3*z^5 - w^4*x*y^4*z^5 + 2*w^3*x^2*y^4*z^5 + 2*w^2*x^3*y^4*z^5 - w*x^4*y^4*z^5

6431>6422>6332>5540●>5531>5522>5441>5432>5333>4442>4433
次は5441で係数は-1なので+1倍して足す
x^5y^4z^4w = (xyzw)(xyz)^3x -> e4e3^3*e1

f(x,y,z,w) = x^6*y^4*z^3*w + x^6*y^4*z*w^3 + x^6*y^3*z^4*w + x^6*y^3*z*w^4 + x^6*y*z^4*w^3 + x^6*y*z^3*w^4 + x^4*y^6*z^3*w + x^4*y^6*z*w^3 + x^4*y^3*z^6*w + x^4*y^3*z*w^6 + x^4*y*z^6*w^3 + x^4*y*z^3*w^6 + x^3*y^6*z^4*w + x^3*y^6*z*w^4 + x^3*y^4*z^6*w + x^3*y^4*z*w^6 + x^3*y*z^6*w^4 + x^3*y*z^4*w^6 + x*y^6*z^4*w^3 + x*y^6*z^3*w^4 + x*y^4*z^6*w^3 + x*y^4*z^3*w^6 + x*y^3*z^6*w^4 + x*y^3*z^4*w^6
e1(x,y,z,w) = x+y+z+w
e2(x,y,z,w) = x*y + x*z + x*w + y*z + y*w + z*w
e3(x,y,z,w) = x*y*z + x*y*w + x*z*w + y*z*w
e4(x,y,z,w) = x*y*z*w
g(x,y,z,w) = f(x,y,z,w) - e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^2   + 2*e4(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^2*e1(x,y,z,w)^2  + e4(x,y,z,w)^2*e3(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^3  + 2*e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^2  -4*e4(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^3  + e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^3*e1(x,y,z,w)
g(x,y,z,w).expand()

5*w^5*x^4*y^3*z^2 + 5*w^4*x^5*y^3*z^2 + 5*w^5*x^3*y^4*z^2 + 16*w^4*x^4*y^4*z^2 + 5*w^3*x^5*y^4*z^2 + 5*w^4*x^3*y^5*z^2 + 5*w^3*x^4*y^5*z^2 + 5*w^5*x^4*y^2*z^3 + 5*w^4*x^5*y^2*z^3 + 16*w^5*x^3*y^3*z^3 + 32*w^4*x^4*y^3*z^3 + 16*w^3*x^5*y^3*z^3 + 5*w^5*x^2*y^4*z^3 + 32*w^4*x^3*y^4*z^3 + 32*w^3*x^4*y^4*z^3 + 5*w^2*x^5*y^4*z^3 + 5*w^4*x^2*y^5*z^3 + 16*w^3*x^3*y^5*z^3 + 5*w^2*x^4*y^5*z^3 + 5*w^5*x^3*y^2*z^4 + 16*w^4*x^4*y^2*z^4 + 5*w^3*x^5*y^2*z^4 + 5*w^5*x^2*y^3*z^4 + 32*w^4*x^3*y^3*z^4 + 32*w^3*x^4*y^3*z^4 + 5*w^2*x^5*y^3*z^4 + 16*w^4*x^2*y^4*z^4 + 32*w^3*x^3*y^4*z^4 + 16*w^2*x^4*y^4*z^4 + 5*w^3*x^2*y^5*z^4 + 5*w^2*x^3*y^5*z^4 + 5*w^4*x^3*y^2*z^5 + 5*w^3*x^4*y^2*z^5 + 5*w^4*x^2*y^3*z^5 + 16*w^3*x^3*y^3*z^5 + 5*w^2*x^4*y^3*z^5 + 5*w^3*x^2*y^4*z^5 + 5*w^2*x^3*y^4*z^5

6431>6422>6332>5540●>5531>5522>5441>5432>5333>4442>4433
次は5432で係数は+5なので-5倍して足す
x^5y^4z^3w^2 = (xyzw)^2(xyz)(xy)x -> e4^2e3e2*e1

f(x,y,z,w) = x^6*y^4*z^3*w + x^6*y^4*z*w^3 + x^6*y^3*z^4*w + x^6*y^3*z*w^4 + x^6*y*z^4*w^3 + x^6*y*z^3*w^4 + x^4*y^6*z^3*w + x^4*y^6*z*w^3 + x^4*y^3*z^6*w + x^4*y^3*z*w^6 + x^4*y*z^6*w^3 + x^4*y*z^3*w^6 + x^3*y^6*z^4*w + x^3*y^6*z*w^4 + x^3*y^4*z^6*w + x^3*y^4*z*w^6 + x^3*y*z^6*w^4 + x^3*y*z^4*w^6 + x*y^6*z^4*w^3 + x*y^6*z^3*w^4 + x*y^4*z^6*w^3 + x*y^4*z^3*w^6 + x*y^3*z^6*w^4 + x*y^3*z^4*w^6
e1(x,y,z,w) = x+y+z+w
e2(x,y,z,w) = x*y + x*z + x*w + y*z + y*w + z*w
e3(x,y,z,w) = x*y*z + x*y*w + x*z*w + y*z*w
e4(x,y,z,w) = x*y*z*w
g(x,y,z,w) = f(x,y,z,w) - e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^2   + 2*e4(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^2*e1(x,y,z,w)^2  + e4(x,y,z,w)^2*e3(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^3  + 2*e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^2  -4*e4(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^3  + e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^3*e1(x,y,z,w)  -5*e4(x,y,z,w)^2*e3(x,y,z,w)*e2(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)
g(x,y,z,w).expand()

w^4*x^4*y^4*z^2 + w^5*x^3*y^3*z^3 - 8*w^4*x^4*y^3*z^3 + w^3*x^5*y^3*z^3 - 8*w^4*x^3*y^4*z^3 - 8*w^3*x^4*y^4*z^3 + w^3*x^3*y^5*z^3 + w^4*x^4*y^2*z^4 - 8*w^4*x^3*y^3*z^4 - 8*w^3*x^4*y^3*z^4 + w^4*x^2*y^4*z^4 - 8*w^3*x^3*y^4*z^4 + w^2*x^4*y^4*z^4 + w^3*x^3*y^3*z^5

6431>6422>6332>5540●>5531>5522>5441>5432>5333>4442>4433
次は5333で係数は+1なので-1倍して足す
x^5y^3z^3w^3 = (xyzw)^3x^2 -> e4^3*e1^2

f(x,y,z,w) = x^6*y^4*z^3*w + x^6*y^4*z*w^3 + x^6*y^3*z^4*w + x^6*y^3*z*w^4 + x^6*y*z^4*w^3 + x^6*y*z^3*w^4 + x^4*y^6*z^3*w + x^4*y^6*z*w^3 + x^4*y^3*z^6*w + x^4*y^3*z*w^6 + x^4*y*z^6*w^3 + x^4*y*z^3*w^6 + x^3*y^6*z^4*w + x^3*y^6*z*w^4 + x^3*y^4*z^6*w + x^3*y^4*z*w^6 + x^3*y*z^6*w^4 + x^3*y*z^4*w^6 + x*y^6*z^4*w^3 + x*y^6*z^3*w^4 + x*y^4*z^6*w^3 + x*y^4*z^3*w^6 + x*y^3*z^6*w^4 + x*y^3*z^4*w^6
e1(x,y,z,w) = x+y+z+w
e2(x,y,z,w) = x*y + x*z + x*w + y*z + y*w + z*w
e3(x,y,z,w) = x*y*z + x*y*w + x*z*w + y*z*w
e4(x,y,z,w) = x*y*z*w
g(x,y,z,w) = f(x,y,z,w) - e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^2   + 2*e4(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^2*e1(x,y,z,w)^2  + e4(x,y,z,w)^2*e3(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^3  + 2*e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^2  -4*e4(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^3  + e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^3*e1(x,y,z,w)  -5*e4(x,y,z,w)^2*e3(x,y,z,w)*e2(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)  - e4(x,y,z,w)^3*e1(x,y,z,w)^2
g(x,y,z,w).expand()

w^4*x^4*y^4*z^2 - 10*w^4*x^4*y^3*z^3 - 10*w^4*x^3*y^4*z^3 - 10*w^3*x^4*y^4*z^3 + w^4*x^4*y^2*z^4 - 10*w^4*x^3*y^3*z^4 - 10*w^3*x^4*y^3*z^4 + w^4*x^2*y^4*z^4 - 10*w^3*x^3*y^4*z^4 + w^2*x^4*y^4*z^4

6431>6422>6332>5540●>5531>5522>5441>5432>5333>4442>4433
次は4442で係数は+1なので-1倍して足す
x^4y^4z^4w^2 = (xyzw)^2(xyz)^2 -> e4^2*e3^2

f(x,y,z,w) = x^6*y^4*z^3*w + x^6*y^4*z*w^3 + x^6*y^3*z^4*w + x^6*y^3*z*w^4 + x^6*y*z^4*w^3 + x^6*y*z^3*w^4 + x^4*y^6*z^3*w + x^4*y^6*z*w^3 + x^4*y^3*z^6*w + x^4*y^3*z*w^6 + x^4*y*z^6*w^3 + x^4*y*z^3*w^6 + x^3*y^6*z^4*w + x^3*y^6*z*w^4 + x^3*y^4*z^6*w + x^3*y^4*z*w^6 + x^3*y*z^6*w^4 + x^3*y*z^4*w^6 + x*y^6*z^4*w^3 + x*y^6*z^3*w^4 + x*y^4*z^6*w^3 + x*y^4*z^3*w^6 + x*y^3*z^6*w^4 + x*y^3*z^4*w^6
e1(x,y,z,w) = x+y+z+w
e2(x,y,z,w) = x*y + x*z + x*w + y*z + y*w + z*w
e3(x,y,z,w) = x*y*z + x*y*w + x*z*w + y*z*w
e4(x,y,z,w) = x*y*z*w
g(x,y,z,w) = f(x,y,z,w) - e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^2   + 2*e4(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^2*e1(x,y,z,w)^2  + e4(x,y,z,w)^2*e3(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^3  + 2*e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^2  -4*e4(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^3  + e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^3*e1(x,y,z,w)  -5*e4(x,y,z,w)^2*e3(x,y,z,w)*e2(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)  - e4(x,y,z,w)^3*e1(x,y,z,w)^2  - e4(x,y,z,w)^2*e3(x,y,z,w)^2
g(x,y,z,w).expand()

-12*w^4*x^4*y^3*z^3 - 12*w^4*x^3*y^4*z^3 - 12*w^3*x^4*y^4*z^3 - 12*w^4*x^3*y^3*z^4 - 12*w^3*x^4*y^3*z^4 - 12*w^3*x^3*y^4*z^4

6431>6422>6332>5540●>5531>5522>5441>5432>5333>4442>4433
次は4433で係数は-12なので+12倍して足す
x^4y^4z^3w^3 = (xyzw)^3(xy) -> e4^3*e2

f(x,y,z,w) = x^6*y^4*z^3*w + x^6*y^4*z*w^3 + x^6*y^3*z^4*w + x^6*y^3*z*w^4 + x^6*y*z^4*w^3 + x^6*y*z^3*w^4 + x^4*y^6*z^3*w + x^4*y^6*z*w^3 + x^4*y^3*z^6*w + x^4*y^3*z*w^6 + x^4*y*z^6*w^3 + x^4*y*z^3*w^6 + x^3*y^6*z^4*w + x^3*y^6*z*w^4 + x^3*y^4*z^6*w + x^3*y^4*z*w^6 + x^3*y*z^6*w^4 + x^3*y*z^4*w^6 + x*y^6*z^4*w^3 + x*y^6*z^3*w^4 + x*y^4*z^6*w^3 + x*y^4*z^3*w^6 + x*y^3*z^6*w^4 + x*y^3*z^4*w^6
e1(x,y,z,w) = x+y+z+w
e2(x,y,z,w) = x*y + x*z + x*w + y*z + y*w + z*w
e3(x,y,z,w) = x*y*z + x*y*w + x*z*w + y*z*w
e4(x,y,z,w) = x*y*z*w
g(x,y,z,w) = f(x,y,z,w) - e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^2   + 2*e4(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^2*e1(x,y,z,w)^2  + e4(x,y,z,w)^2*e3(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)^3  + 2*e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^2  -4*e4(x,y,z,w)^2*e2(x,y,z,w)^3  + e4(x,y,z,w)*e3(x,y,z,w)^3*e1(x,y,z,w)  -5*e4(x,y,z,w)^2*e3(x,y,z,w)*e2(x,y,z,w)*e1(x,y,z,w)  - e4(x,y,z,w)^3*e1(x,y,z,w)^2  - e4(x,y,z,w)^2*e3(x,y,z,w)^2  +12*e4(x,y,z,w)^3*e2(x,y,z,w)
g(x,y,z,w).expand()

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以上で対称式を基本対称式で表すことができました。

$[x^6*y^4*z^3*w] = e4*e3^2*e2*e1^2 - 2*e4^2*e2^2*e1^2 - e4^2*e3*e1^3 - 2*e4*e3^2*e2^2 + 4*e4^2*e2^3 - e4*e3^3*e1 + 5*e4^2*e3*e2*e1 + e4^3*e1^2 + e4^2*e3^2 - 12*e4^3*e2$

1. どのように文字を入れ替えても変わらない式。例えばx,y,z 3文字の式$x^2*y*z+x*y^2*z+x*y*z^2$。 ↩

2. n文字の式の場合はn文字からi個選び(iは1～n)それらの積をとって全て足し合わせた式。例えばx,y,z 3文字の式の場合は$x+y+z$と$x*y+y*z+z*x$と$x*y*z$の3つの式。 ↩