コメントで教えていただいた。

$ curl -s -H "Metadata-Flavor: Google" http://metadata.google.internal/computeMetadata/v1/instance/zone 
projects/XXXXXXXXXXX/zones/asia-east1-b

hostがmetadata.googl.internalになっているのがミソっぽい。
Compute Engine API側になくて全然気づかなかった。

asia-east1-bだけ欲しいならbasenameを使うのがよさそう。

$ basename $(curl -s -H "Metadata-Flavor: Google" http://metadata.google.internal/computeMetadata/v1/instance/zone)
asia-east1-b

蛇足

jqが使えるなら一括で取得しておいて使いまわすのもよいかもしれない。

$ METADATA=$(curl -s -H "Metadata-Flavor: Google" "http://metadata.google.internal/computeMetadata/v1/?recursive=true&alt=json")
$ echo $METADATA | jq '.instance.zone'
"projects/XXXXXXXXXXXXX/zones/asia-east1-b"
$ basename $(echo $METADATA | jq -r '.instance.zone')
asia-east1-b

メタデータをザクっと確認するなら

$ curl -s -H "Metadata-Flavor: Google" "http://metadata.google.internal/computeMeta
data/v1/?recursive=true&alt=text"

とするのがよさそう。

たとえばinstance/disks/1/device-nameのデータがとりたいなら

$ echo $METADATA | jq '.instance.disks[1].deviceName'

で取得できる。pathの変換が必要なのでいい感じに取得する方法がないか悩ましい。