#問題点
VirtualboxとVagrantにバージョンの相性の問題があります。
Virtualbox 5.2 + vagrant 2.2.6 なら動くのでそれで環境を作成したかったのですが、VirtualBox 5.2がUbuntu 19.10に対応していなかったので、VirtualBox6.1で作成しました。

#環境

ubuntu 19.10 //ホスト
Virtualbox 6.1.4r136177
Vagrant 2.2.6

#VirtualBoxのインストール

1.keyの登録

wget -q https://www.virtualbox.org/download/oracle_vbox_2016.asc -O- | sudo apt-key add -

##2.レポジトリの追加

sudo add-apt-repository "deb [arch=amd64] https://download.virtualbox.org/virtualbox/debian eoan contrib"

##3.VirtualBoxのインストール

sudo apt install virtualbox-6.1

参考
VirtualBox その100 - VirtualBox 6.1.0をインストールするには・Guest Additionsをインストールするには
 VirtualBox Download VirtualBox for Linux Hosts

#Vagrantのインストール
適当なディレクトリで実行してください。

curl -O https://releases.hashicorp.com/vagrant/2.2.6/vagrant_2.2.6_x86_64.deb
sudo apt install ./vagrant_2.2.6_x86_64.deb

VirtualBox とVagrantを対応させる

こちらのwebサイトを参考に設定します。
Getting Vagrant 2.2.6 working with VirtualBox 6.1 GA

Ubuntuをインストールする

適当なディレクトリで実行してください。

vagrant box add ubuntu/bionic64 --box-version 20181129.0.0
vagrant init ubuntu/bionic64
vagrant up

最終的に Machine booted and ready! という文字列が表示されていれば無事に起動できています。

#つまづきポイント

自分がつまずいたエラー

vagrant upの際に出力されたエラーです

 There was an error while executing `VBoxManage`, a CLI used by Vagrant
 for controlling VirtualBox. The command and stderr is shown below.
 
 Command: ["startvm", "728a7f9e-0589-4d56-a601-280e78c83841", "--type", "headless"]
 
 Stderr: VBoxManage: error: The virtual machine 'ubuntu64_18_default_1584679530897_81948' has terminated unexpectedly during startup with exit code 1 (0x1)
 VBoxManage: error: Details: code NS_ERROR_FAILURE (0x80004005), component MachineWrap, interface IMachine

別のバージョンのVirtualBoxが競合しているようでした。
/sbin/vboxconfigを実行しても直らなかったので、すべてアンインストールをしてから再インストールをしたらエラーが直りました。