公式サイト: https://hub.docker.com/_/vault

Running Vault in Server Mode に記載されている以下のコマンドでは、ホストから接続可能なコンテナを起動できませんでした。

docker run --cap-add=IPC_LOCK -e 'VAULT_LOCAL_CONFIG={"backend": {"file": {"path": "/vault/file"}}, "default_lease_ttl": "168h", "max_lease_ttl": "720h"}' vault server

解決した情報: https://github.com/hashicorp/vault/issues/441#issuecomment-123362274

ポイント（だと考えるところ、認識誤りだったら済みません。ご指摘いただけると助かります。）

TLSを無効
tcpのアドレスを 0.0.0.0:8200 へ変更

それから、上記コマンドだとコンテナのポートを公開していないので-pオプションでホストに公開する必要があります。
また、上記コマンドだと以下の警告ログが出力されました。

[WARN]  no `api_addr` value specified in config or in VAULT_API_ADDR; falling back to detection if possible, but this value should be manually set

そのため、VAULT_LOCAL_CONFIGの中でapi_addrを指定するか、VAULT_API_ADDRでVault APIのアドレスを指定する必要があります。

上記をふまえて、最終的なコマンド例が以下になります。

ホストからアクセス可能なサーバーモードで起動する場合のコマンド例

docker run --cap-add=IPC_LOCK -e 'VAULT_LOCAL_CONFIG={"backend": {"file": {"path": "/vault/file"}}, "api_addr": "http://127.0.0.1:8200", "listener": {"tcp": {"address": "0.0.0.0:8200", "tls_disable": "true"}}}}' -p 8200:8200 vault server

以上です。