座標変数 $p$ に対する関数を $f(p)$ とする。位置 $p_1, p_2, p_3$ において関数 $f_1, f_2, f_3$ が与えられているとき、これを二次関数で補間して最大値を得る位置 $p_x$ を求める。

二次関数の形を $f(p) = f_x - a(p - p_x)^2$ とする。

区間 $[p_1, p_2]$ の平均傾きを計算すると$f_x$が消去できて

\frac{f_2-f_1}{p_2-p_1} 
= -a \frac{ (p_2-p_x)^2-(p_1-p_x)^2 }{p_2-p_1}
= -a \frac{ [(p_2-p_x)+(p_1-p_x)][(p_2-p_x)-(p_1-p_x)] }{p_2-p_1}
= -a (p_1 + p_2 - 2p_x)

区間 $[p_2, p_3]$ の平均傾きについても同様に

\frac{f_3-f_2}{p_3-p_2} 
= -a (p_2 + p_3 - 2p_x)

差し引くと $p_x$ が消去できて

\frac{f_3-f_2}{p_3-p_2}-\frac{f_2-f_1}{p_2-p_1} = -a[(p_3+p_2)-(p_2+p_1)]
= -a (p_3 - p_1)

つまり

a = \frac{1}{p_3-p_1} \left( \frac{f_2-f_1}{p_2-p_1}-\frac{f_3-f_2}{p_3-p_2} \right)

この式には除算があるが、分母はたとえば $p$ が等間隔という知識があれば、非常に小さくなるような病的ケースが起こりにくい。
いっぽう、$a$ が非常に小さいような病的なケースはここで見つけて弾いておかねばならんのかもしれない。

次に $p_x$ を求める。傾きの式から

2p_x = p_1 + p_2 + \frac{1}{a} \frac{f_2-f_1}{p_2-p_1}

などとして $p_x$ が得られる。いちばん大きな除算のゼロ割懸念は、 $a$ の検査をしていればクリアされる。

最後に $f_x$ はたとえば２番節点から（何番でもよいのだが）

f_x = f_2 + a(p_2 - p_x)^2