座標変数 $p$ に対する関数を $f(p)$ とする。位置 $p_1, p_2, p_3$ において関数 $f_1, f_2, f_3$ が与えられているとき、これを二次関数で補間して最大値を得る位置 $p_x$ を求める。
二次関数の形を $f(p) = f_x - a(p - p_x)^2$ とする。
区間 $[p_1, p_2]$ の平均傾きを計算すると$f_x$が消去できて
\frac{f_2-f_1}{p_2-p_1}
= -a \frac{ (p_2-p_x)^2-(p_1-p_x)^2 }{p_2-p_1}
= -a \frac{ [(p_2-p_x)+(p_1-p_x)][(p_2-p_x)-(p_1-p_x)] }{p_2-p_1}
= -a (p_1 + p_2 - 2p_x)
区間 $[p_2, p_3]$ の平均傾きについても同様に
\frac{f_3-f_2}{p_3-p_2}
= -a (p_2 + p_3 - 2p_x)
差し引くと $p_x$ が消去できて
\frac{f_3-f_2}{p_3-p_2}-\frac{f_2-f_1}{p_2-p_1} = -a[(p_3+p_2)-(p_2+p_1)]
= -a (p_3 - p_1)
つまり
a = \frac{1}{p_3-p_1} \left( \frac{f_2-f_1}{p_2-p_1}-\frac{f_3-f_2}{p_3-p_2} \right)
この式には除算があるが、分母はたとえば $p$ が等間隔という知識があれば、非常に小さくなるような病的ケースが起こりにくい。
いっぽう、$a$ が非常に小さいような病的なケースはここで見つけて弾いておかねばならんのかもしれない。
次に $p_x$ を求める。傾きの式から
2p_x = p_1 + p_2 + \frac{1}{a} \frac{f_2-f_1}{p_2-p_1}
などとして $p_x$ が得られる。いちばん大きな除算のゼロ割懸念は、 $a$ の検査をしていればクリアされる。
最後に $f_x$ はたとえば２番節点から（何番でもよいのだが）
f_x = f_2 + a(p_2 - p_x)^2