状況

理由はよくわからない。
ChatGPT に導かれるままに ~/.bash_profile に書いたら動いた。
なぜかわからない。
source /home/user/.bashrc をいれても改善しない。
~/.bashrc と ~/.bash_profile の違いを調べても原因が理解できない

今回の事象と関連すると思われる何かかが議論されているけどわかりませんでした...

Environment variables defined in tasks.json::tasks.options.env do not overwrite existing environment variables #47985

環境変数を使う方法

1. ~/.bash_profile に書き込む

~/.bash_profile

YOUR_WEBSITE_URL=http://localhost:8000

tasks.json

{
  "version": "2.0.0",
  "tasks": [
    {
      // 立ち上がりが激重のため...
      "label": "chrome",
      "type": "shell",
      // connection refused を防ぐために sleep, curl する
      "command": "echo ${YOUR_WEBSITE_URL} && sleep 7 && curl ${YOUR_WEBSITE_URL}/page-title && google-chrome ${YOUR_WEBSITE_URL}/page-title && exit",
      "presentation": {
        "close": true
      }
    }
  ]
}

2. options.env に書き込む

YOUR_WEBSITE_URL が長かったので短くしました...

tasks.json

{
  "version": "2.0.0",
  "tasks": [
    {
      // 立ち上がりが激重のため...
      "label": "chrome",
      "type": "shell",
      // connection refused を防ぐために sleep, curl する
      "command": "echo ${URL} && sleep 7 && curl ${URL}/page-title && google-chrome ${URL}/page-title && exit",
      "presentation": {
        "close": true
      },
      "options": {
        "env": {
          // NG: env が必要
          // "URL": "${YOUR_WEBSITE_URL}"
          // OK:
          "URL": "${env:YOUR_WEBSITE_URL}"
        }
      }
    }
  ]
}

参考

tasks.json で使う変数に関することが書かれています。