📘 数式で理解するブラウン運動と拡散方程式

✅ 1. ランダムウォーク（1次元）の基本モデル

ブラウン運動を数学的に考える最も簡単な方法は「1次元ランダムウォーク」です。

【モデル】
粒子が時刻 t = 0 で位置 x = 0 にいて、1秒ごとに

【式】
x(t) = s₁ + s₂ + s₃ + ... + sₙ

ただし：

このときの位置 x(t) の統計的性質は次のようになります。

【平均】
E[x(t)] = 0

→ ランダムに左右へ同じ確率で動くので、平均位置は0にとどまる。

【分散】
Var[x(t)] = E[(x(t) - E[x(t)])²] = n

→ ステップ数が増えるほどばらつき（広がり）は大きくなる。

【標準偏差】
σ = √n

上記より、「粒子の拡がり」は次の関係に従います：

拡がり（幅） ∝ √t

これは、ブラウン運動や拡散現象において非常に重要なスケーリング法則であり、時間が経つほどジワジワ広がる様子を表します。

多数のステップがある場合、確率分布は正規分布（ガウス分布）に近づきます：

【正規分布の形】
P(x, t) = (1 / √(2πσ²)) × exp(-x² / (2σ²))

ここで：

【言い換え】
長い時間が経つと、粒子の位置分布は「左右対称の山形」になる。

多くの粒子の平均的なふるまいを記述するのが拡散方程式です：

∂P(x,t)/∂t = D × ∂²P(x,t)/∂x²

【各記号の意味】

無限の空間に拡がる場合（境界なし）の解は次の通り：

P(x,t) = (1 / √(4πDt)) × exp(-x² / (4Dt))

【ポイント】

Fickの第1法則（粒子の流れ）：

J(x,t) = -D × ∂P(x,t)/∂x

Fickの第2法則（密度の変化）：

∂P(x,t)/∂t = -∂J(x,t)/∂x

【つまり】
Fickの法則（経験則）を数学的に突き詰めたものが拡散方程式。

例：x = 0 に壁がある（左に行けない）

【反射境界条件】
∂P/∂x |_(x=0) = 0

【吸収境界条件】
P(x=0,t) = 0

こうした条件により、粒子の分布の形は時間とともに非対称になっていきます。