📘 数式で理解するブラウン運動と拡散方程式
✅ 1. ランダムウォーク（1次元）の基本モデル
ブラウン運動を数学的に考える最も簡単な方法は「1次元ランダムウォーク」です。
【モデル】
粒子が時刻 t = 0 で位置 x = 0 にいて、1秒ごとに
- +1（右）または -1（左）に移動する確率が同じ（1/2）
【式】
x(t) = s₁ + s₂ + s₃ + ... + sₙ
ただし：
- sᵢ ∈ {+1, -1} （各ステップの移動）
- t = n：ステップ数と時間を同一視（1秒ごと）
✅ 2. 平均と分散の計算
このときの位置 x(t) の統計的性質は次のようになります。
【平均】
E[x(t)] = 0
→ ランダムに左右へ同じ確率で動くので、平均位置は0にとどまる。
【分散】
Var[x(t)] = E[(x(t) - E[x(t)])²] = n
→ ステップ数が増えるほどばらつき（広がり）は大きくなる。
【標準偏差】
σ = √n
✅ 3. √tスケーリング則
上記より、「粒子の拡がり」は次の関係に従います：
拡がり（幅） ∝ √t
これは、ブラウン運動や拡散現象において非常に重要なスケーリング法則であり、時間が経つほどジワジワ広がる様子を表します。
✅ 4. 中心極限定理と正規分布への近似
多数のステップがある場合、確率分布は正規分布（ガウス分布）に近づきます：
【正規分布の形】
P(x, t) = (1 / √(2πσ²)) × exp(-x² / (2σ²))
ここで：
- σ² = t（1ステップの分散が1とした場合）
- exp(x) は e の x 乗、自然対数の底
【言い換え】
長い時間が経つと、粒子の位置分布は「左右対称の山形」になる。
✅ 5. 拡散方程式（偏微分方程式）
多くの粒子の平均的なふるまいを記述するのが拡散方程式です：
∂P(x,t)/∂t = D × ∂²P(x,t)/∂x²
【各記号の意味】
- P(x,t)：位置 x に時刻 t で粒子が存在する確率密度（確率 / 単位長さ）
- ∂/∂t：時間に関する変化率（微分）
- ∂²/∂x²：位置 x に関する2階微分（曲がり具合）
- D：拡散係数（定数）
✅ 6. 拡散方程式の解（自由空間）
無限の空間に拡がる場合（境界なし）の解は次の通り：
P(x,t) = (1 / √(4πDt)) × exp(-x² / (4Dt))
【ポイント】
- 時間が経つと、山が低くなり横に広がる
- ∫P(x,t) dx = 1（全体で確率が1になる）
✅ 7. Fickの法則との関係
Fickの第1法則（粒子の流れ）：
J(x,t) = -D × ∂P(x,t)/∂x
Fickの第2法則（密度の変化）：
∂P(x,t)/∂t = -∂J(x,t)/∂x
【つまり】
Fickの法則（経験則）を数学的に突き詰めたものが拡散方程式。
✅ 8. 境界条件を入れると？
例：x = 0 に壁がある（左に行けない）
【反射境界条件】
∂P/∂x |_(x=0) = 0
【吸収境界条件】
P(x=0,t) = 0
こうした条件により、粒子の分布の形は時間とともに非対称になっていきます。
🎓 総まとめ（数式編）
| 現象 | 数式 | 意味 |
|---|---|---|
| ランダムウォーク | x(t) = Σsᵢ | 1回ずつランダムに±1移動 |
| 分散 | Var[x(t)] = t | 時間に比例して広がる |
| √tスケーリング | σ = √t | 標準偏差が√tに比例 |
| ガウス分布 | P(x,t) ∝ exp(-x² / (2t)) | ランダム和の極限は正規分布 |
| 拡散方程式 | ∂P/∂t = D ∂²P/∂x² | 粒子の分布が時間とともに変わる |
| 解（自由空間） | P(x,t) = (1 / √(4πDt)) × exp(-x² / 4Dt) | 時間とともに滑らかに広がる分布 |
| Fickの法則（第1・第2） | J = -D ∂P/∂x、∂P/∂t = -∂J/∂x | 拡散の方向と速さを表す |