📘 Fokker-Planck方程式とLangevin方程式

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✅ 1. 背景と目的：なぜ2つあるのか？

• Langevin方程式：粒子の**運動そのもの（力学的な時間発展）**を記述
• Fokker-Planck方程式：粒子の**確率密度の変化（統計的な振る舞い）**を記述

👉 この2つは「ミクロ vs マクロ」「力の法則 vs 確率の法則」のような関係で、互いに対応しています（対応原理）

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✅ 2. Langevin方程式：ノイズを含む運動方程式

基本形（1次元）：

m * dv/dt = -γv + η(t)

【各記号の意味】

• m: 粒子の質量
• v: 粒子の速度（時間依存）
• γ: 粘性係数（摩擦）
• η(t): ランダムな外力（ホワイトノイズ）

【ポイント】

• -γv: ブレーキのような減速力（摩擦）
• η(t): 微視的にランダムな力（熱浴中の分子衝突）

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✅ 3. ノイズの性質（ホワイトノイズ）

E[η(t)] = 0
E[η(t)η(t')] = 2γkT δ(t - t')

• E[...]: 期待値（平均）
• k: ボルツマン定数
• T: 温度
• δ: ディラックのデルタ関数（t ≠ t’ ならゼロ）

👉 短い時間の中で完全にランダムなゆらぎ＝ホワイトノイズ

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✅ 4. Fokker-Planck方程式：確率密度の時間発展

● 基本形（速度 v の分布 P(v,t)）：

∂P/∂t = ∂/∂v [γv P] + γkT ∂²P/∂v²

• 第1項：摩擦による収束（ドリフト項）
• 第2項：ランダム性による拡散（拡散項）

この式は、Langevin方程式から確率のルールで導かれます。

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● 座標空間でのバージョン（オーバーダンピング極限）：

（慣性が無視できる場合）

∂P/∂t = - ∂/∂x [A(x) P] + D ∂²P/∂x²

【各記号の意味】

• P(x,t): 粒子が位置 x にいる確率密度
• A(x): ドリフト項（例：ポテンシャルの勾配）
• D: 拡散係数（∝ 温度）

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✅ 5. 2つの方程式の対応関係（まとめ）

観点	Langevin方程式	Fokker-Planck方程式
表現するもの	粒子の個別の運動	多数の粒子の分布（確率密度）
数式の型	微分方程式（ランダム項あり）	偏微分方程式
ランダム性	力（ノイズ項）に入っている	拡散項に変換されている
モデルの意味	シミュレーション向き	理論解析や分布予測に向いている
数式例（簡易）	dv/dt = -γv + η(t)	∂P/∂t = γ ∂/∂v(vP) + D ∂²P/∂v²

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✅ 6. 応用例と物理的意義

• 熱雑音のモデリング（ブラウン運動、ナノスケール物理）
• 金融モデル（株価の変動をLangevin方程式風に表す）
• 量子拡張（量子Langevin、量子マスター方程式）
• 機械学習（確率的最適化、拡散モデル）

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✅ 7. 直感イメージ（簡易まとめ）

• Langevin方程式：
  　「粒子に“見えない手”がガチャガチャと押してくる」
  　→ ランダム性のある運動を“1粒子視点”で見る。

• Fokker-Planck方程式：
  　「そのガチャガチャの結果、粒子の群れがどう広がるか」
  　→ 粒子の“群れ全体の分布”を時間とともに見る。

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