1/6公式：
$$
\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3
$$
🔷 【意味と用途】
この式は、放物線と直線で囲まれた面積や、ベータ関数の積分テクニックでしばしば利用される対称性をもつ積分公式です。
✅ 【導出概要】
式：
$$
\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx
$$
これは2次関数 $f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$ の積分。
展開：
$$
(x - \alpha)(x - \beta) = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta
$$
したがって、
$$
\int_{\alpha}^{\beta}(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta),dx
= \left[\frac{x^3}{3} - \frac{(\alpha + \beta)x^2}{2} + \alpha\beta x\right]_{\alpha}^{\beta}
$$
整理すると、結果は：
$$
-\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3
$$
🔸【ベータ関数との関係】
ベータ関数の定義：
$$
B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx \quad (\text{Re}(p), \text{Re}(q) > 0)
$$
この「1/6公式」は、$p = 2, q = 2$ の場合に関係：
$$
B(2, 2) = \int_0^1 x(1-x) dx = \frac{1}{6}
$$
つまり、ベータ関数 $B(2,2)$ の値 1/6 は、同型の放物線下の面積に対応しています。
🔷 1. ガンマ関数（Gamma Function）
✅ 定義（連続拡張された階乗関数）
$$
\Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt \quad (\Re(z) > 0)
$$
✅ 性質
-
自然数に対して：
$$
\Gamma(n) = (n-1)! \quad \text{（階乗の拡張）}
$$ -
漸化式：
$$
\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)
$$ -
特殊値：
$$
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}
$$
🔷 2. ベータ関数（Beta Function）
✅ 定義（積分定義）
$$
B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1 - x)^{q-1} dx \quad (\Re(p), \Re(q) > 0)
$$
✅ 対称性
$$
B(p, q) = B(q, p)
$$
✅ ガンマ関数との関係（重要）
$$
B(p, q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p + q)}
$$
📘 ベータ分布とベイズ推定：ベルヌーイ試行における共役事前分布
🔶 1. 問題設定：確率 $\theta$ の推定
あるコインを投げて「表が出る確率 $\theta$」を推定したいとします。
これはベルヌーイ試行の成功確率 $\theta$ を知りたいということです。
🔶 2. ベイズ推定の3要素
| 項目 | 数学的表現 | 意味 | |
|---|---|---|---|
| 事前分布 | $\theta \sim \mathrm{Beta}(\alpha, \beta)$ | 観測前に持つ主観的な信念（仮定） | |
| 尤度関数 | $\mathcal{L}(\theta) = \theta^x (1 - \theta)^{n - x}$ | データ $x$ が得られる確率 | |
| 事後分布 | ( \theta | x \sim \mathrm{Beta}(\alpha + x, \beta + n - x) ) | 観測後に更新された信念 |
🔷 3. 数式でのベイズ更新
✅ ベータ分布のPDF（事前分布）
$$
f_{\text{prior}}(\theta) = \frac{1}{B(\alpha, \beta)} \theta^{\alpha - 1}(1 - \theta)^{\beta - 1}
$$
✅ 尤度（ベルヌーイ or 二項分布）
観測：n回中x回成功した（= 表が出た）とすると、
$$
\mathcal{L}(\theta) = \binom{n}{x} \theta^x (1 - \theta)^{n - x}
$$
※ ベイズ更新では定数（係数）部分は無視してよいので：
$$
\mathcal{L}(\theta) \propto \theta^x (1 - \theta)^{n - x}
$$
✅ 事後分布の導出
事後分布は：
$$
f_{\text{posterior}}(\theta|x) \propto f_{\text{prior}}(\theta) \cdot \mathcal{L}(\theta)
$$
$$
\propto \theta^{\alpha - 1} (1 - \theta)^{\beta - 1} \cdot \theta^x (1 - \theta)^{n - x}
= \theta^{\alpha + x - 1} (1 - \theta)^{\beta + n - x - 1}
$$
つまり：
$$
\theta | x \sim \mathrm{Beta}(\alpha + x, \beta + n - x)
$$
📊 4. 直感と意味
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| $\alpha$ | 「成功（表）」の仮想回数 |
| $\beta$ | 「失敗（裏）」の仮想回数 |
| $x$ | 観測された成功回数 |
| $n - x$ | 観測された失敗回数 |
| → 事後分布 | 事前と観測を足し合わせたベータ分布 |
🔎 5. 具体例（数値）
✅ 例：
- 観測：コインを10回投げて、6回表（x = 6）
- 事前分布：非情報的事前分布（Beta(1, 1) = 一様分布）
🔄 更新後：
$$
\theta | x \sim \mathrm{Beta}(1 + 6, 1 + 4) = \mathrm{Beta}(7, 5)
$$
✅ 期待値：
$$
\mathbb{E}[\theta|x] = \frac{7}{7+5} = \frac{7}{12} ≈ 0.583
$$
→ このようにして、観測結果を反映した新しい確率評価が得られる。
🔁 6. ベータ分布が「共役分布」である意味
共役分布とは：
「事前分布と事後分布の分布の形が同じになること」
ベータ分布は、ベルヌーイ・二項分布に対する共役事前分布であり、更新後もベータ分布になるため、計算・解釈・可視化が非常に容易です。