ピアノの音

🎹 ピアノの音：数式によるモデル化

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🔹 ① 音の基本モデル：調和振動子（1本の弦）

弦の変位 $y(t)$ は以下のように表せます：

$$
y(t) = A \cdot e^{-r t} \cdot \sin(2\pi f t + \phi)
$$

• $A$：初期振幅（打弦強さ）
• $r$：減衰係数（弦の抵抗、共鳴体へのエネルギー散逸）
• $f$：基本周波数（音の高さ、例：A4 = 440Hz）
• $\phi$：初期位相

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🔹 ② 複数モードの重ね合わせ（倍音成分）

ピアノ弦は「1本でも複数モードで振動」します：

$$
y(t) = \sum_{n=1}^{N} A_n \cdot e^{-r_n t} \cdot \sin(2\pi n f_0 t + \phi_n)
$$

• $f_0$：基本周波数（鍵盤で決まる）
• $n$：モード番号（倍音数）
• $A_n, r_n, \phi_n$：各モードに対する振幅・減衰・位相

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🔹 ③ 共鳴体（響板）との結合 → 音圧波形 $p(t)$

共鳴板で増幅された空気振動は：

$$
p(t) = K \cdot \frac{d^2 y(t)}{dt^2}
$$

• $p(t)$：音圧（マイクや耳に届く音の物理量）
• $K$：共鳴板の音響効率（弦から空気への結合係数）

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🔹 ④ デジタル信号としてのピアノ音（PCM形式）

$$
x[n] = \sum_{n=1}^{N} A_n \cdot e^{-r_n n T_s} \cdot \sin(2\pi n f_0 n T_s + \phi_n)
$$

• $T_s$：サンプリング周期（例：44.1kHz）
• $x[n]$：デジタル化された音（WAVファイルなど）

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✅ 応用例：A4（440Hz）ピアノ音の近似モデル

# Program Name: piano_harmonics_sim.py
# Creation Date: 20250710
# Overview: Generate a piano-like sound by summing damped sine waves (harmonics)
# Usage: Run in a Python environment with sounddevice or IPython.display for playback

import numpy as np
import scipy.io.wavfile as wav
import matplotlib.pyplot as plt
import os
import IPython.display as ipd

# --- Parameters / パラメータ設定 ---
fs = 44100               # Sampling rate [Hz]
duration = 1.0           # Duration [s]
t = np.linspace(0, duration, int(fs * duration), endpoint=False)

f0 = 440.0               # Fundamental frequency [Hz] (A4)
N = 5                    # Number of harmonics
A_n = [1, 0.6, 0.3, 0.15, 0.05]  # Amplitude per harmonic
r_n = [3, 5, 7, 9, 12]           # Damping factor per harmonic
phi_n = [0, 0.3, 0.6, 1.0, 1.5]  # Phase per harmonic [rad]

# --- Signal synthesis / 信号生成 ---
y = np.zeros_like(t)
for n in range(N):
    y += A_n[n] * np.exp(-r_n[n] * t) * np.sin(2 * np.pi * (n + 1) * f0 * t + phi_n[n])

# Normalize and convert to int16
y /= np.max(np.abs(y))
y_int16 = np.int16(y * 32767)

# --- Save to WAV file ---
output_path = "piano_sound.wav"
wav.write(output_path, fs, y_int16)

# --- Plot waveform ---
plt.figure(figsize=(10, 3))
plt.plot(t[:2000], y[:2000])
plt.title("Piano-like Sound Waveform (First 2000 samples)")
plt.xlabel("Time [s]")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

# --- Playback ---
ipd.Audio(output_path)

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🎼 結論：ピアノの音の式まとめ

$$
\boxed{
p(t) = K \cdot \frac{d^2}{dt^2} \left[ \sum_{n=1}^{N} A_n e^{-r_n t} \sin(2\pi n f_0 t + \phi_n) \right]
}
$$

これは「打弦 → 弦振動 → 響板共鳴 → 空気圧変動 → 聴覚」という物理連鎖の定式化です。

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