tex記法とMarkdown記法の練習を兼ねて，図1のRC回路のステップ応答を求めてみる．

キルヒホッフの電圧則より，
$$E=Ri(t)+\frac{1}{C}\int i(t) dt$$

$\mathcal{L}[i(t)]=I(s)$として，両辺をラプラス変換すると，

$$\frac{E}{s}=RI(s)+\frac{1}{C}\left [ \frac{I(s)+q(0)}{s} \right ]$$

コンデンサの初期電荷はないものとして（すなわち$q(0)=0$として），$I(s)$について式を整理すると，

$$I(s)=\frac{E}{s} \cdot \frac{1}{R+\frac{1}{sC}}=\frac{E}{R} \cdot \frac{1}{s+\frac{1}{RC}}$$
逆ラプラス変換で$i(t)$を求めると，

$$\therefore i(t)=\mathcal{L}^{-1}[I(s)]=\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}$$

コンデンサCの電圧$v_o(t)$は，
$$v_o(t)=\frac{1}{C}\int i(t)dt=-Ee^{-\frac{1}{RC}t}+C$$
$v_o(0)=0$であるから，積分定数$C$は，

$$v_o(0)=-Ee^{-0}+C=0 \to C=E$$

したがって，
$$\therefore v_o(t)=E\left(1-e^{-\frac{1}{RC}t}\right)$$

電流$i(t)$と電圧$v_o(t)$を再掲すると，

\begin{align}
i(t)&=\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC}t} \\
v_o(t)&=E\left(1-e^{-\frac{1}{RC}t}\right)
\end{align}