tex記法とMarkdown記法の練習を兼ねて，図1のRC回路のステップ応答を求めてみる．

コンデンサ$C$に流れる電流$i(t)$は，
$$i(t)=C\frac{dv_o(t)}{dt}$$

と表される．
この式を使って，キルヒホッフの電圧則を表すと，

$$E=RC\frac{dv_o(t)}{dt}+v_o(t)$$

$\mathcal{L}[v_o(t)]=V_o(s)$として，両辺をラプラス変換すると，

$$\frac{E}{s}=RC[sV_o(s)-v_o(0)]+V_o(s)$$

コンデンサの初期電荷はないものとして（すなわち$v(0)=q(0)/C=0$として），$V_o(s)$について式を整理すると，

\begin{align}
V_o(s)&=\frac{E}{s} \cdot \frac{1}{1+sRC}\\
&=E\left( \frac{1}{s} - \frac{RC}{1+sRC}\right)\\
&=E\left( \frac{1}{s} - \frac{1}{s+\frac{1}{RC}}\right)
\end{align}

逆ラプラス変換で$v_o(t)$を求めると，
$$\therefore v_o(t)=E\left(1-e^{-\frac{1}{RC}t}\right)$$

$i(t)$は$v_o(t)$の時間微分より，
$$\therefore i(t)=C\frac{dv_o(t)}{dt}=\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC}t}$$

電圧$v_o(t)$と電流$i(t)$を再掲すると，

\begin{align}
v_o(t)&=E\left(1-e^{-\frac{1}{RC}t}\right)\\
i(t)&=\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC}t} 

\end{align}