@Asyncでの非同期処理において、ThreadPoolTaskExecutorをすれば同時実行数の制御が可能となります。
しかし、重要な処理と大して重要でない処理を同じThreadPoolで管理してしまうと、重要でない処理が大量に実行待ち状態になったとき、重要な処理を実行しようとしても、なかなか実行できないといった問題が発生します。

そこで、処理によって利用するTaskExecutorを分けて、別のThreadPoolで管理させようと思います。

実装方法

TaskExecutorを2つBean定義する。
どちらもThreadPoolTaskExecutorで、同時実行可能数は1にしています。

@SpringBootApplication
@EnableAsync
public class TaskApplication {

    public static void main(String[] args) {
        SpringApplication.run(TaskApplication.class, args);
    }

    @Bean
    TaskExecutor importantTaskExecutor() {
        ThreadPoolTaskExecutor executor = new ThreadPoolTaskExecutor();
        executor.setCorePoolSize(1);
        executor.setMaxPoolSize(1);
        executor.setQueueCapacity(5);
        return executor;
    }

    @Bean
    public TaskExecutor taskExecutor() {
        ThreadPoolTaskExecutor executor = new ThreadPoolTaskExecutor();
        executor.setCorePoolSize(1);
        executor.setMaxPoolSize(1);
        executor.setQueueCapacity(5);
        return executor;
    }
}

非同期処理を行う部分は以下のように実装します。（インターフェースは省略）
@Asyncで利用するTaskExecutorの名前を指定します。
処理の中で、10秒間のスリープを挟むことによって、実行待ち状態が発生するようにしています。

@Service
@Slf4j
public class TaskServiceImpl implements TaskService {

    @Async("importantTaskExecutor")
    @Override
    public void importantTask() {
        try {
            log.info("start important task");
            TimeUnit.SECONDS.sleep(10);
            log.info("end important task");
        } catch (InterruptedException e) {
            e.printStackTrace();
        }
    }

    @Async("taskExecutor")
    @Override
    public void task() {
        try {
            log.info("start normal task");
            TimeUnit.SECONDS.sleep(10);
            log.info("end normal task");
        } catch (InterruptedException e) {
            e.printStackTrace();
        }
    }
}

以下のコードで動作を確認しました。

@RestController
@RequiredArgsConstructor
public class TaskAsyncController {

    private final TaskService taskService;

    @GetMapping("/")
    public String task() {
        taskService.task();
        taskService.task();
        taskService.task();
        taskService.task();
        taskService.importantTask();

        return "Success!!";
    }
}

実行すると、taskメソッドは1つ実行されますが、残り3つは実行待ち状態となります。
しかし、importantTaskメソッドは実行待ちにはならず、すぐ実行されます。

これで、別のThreadPoolTaskExecutorが利用できていることがわかります。