位相空間 $X$ の上の前層を考えます。
竹内外史の「層・圏・トポス」では前層に二通りの定義が与えられましたが、
その1 では、第一の定義から構成した第二の定義が確かに前層であること、
その2 では、その逆を確かめました。
この記事では確かにその二通りの定義が同値であることを確かめます。
つまり、2つの間の構成の一方が他方のちょうど逆になっていることを確かめます。
そのために、
- 第一の定義の形の前層を第二の定義の形に構成しなおして、再び第一の形に戻した時に元の形と一致していること、
- 第二の形からスタートして第一の形に構成しなおして、再び第二の形に戻すと元の形と一致するものが出来ることを見ます。
一箇所を除いてほぼ自明だと思います。
構成方法 (復習)
第一の定義の形の前層 (Def1) と第二のそれ (Def2) の一方から他方を構成する方法をメモしておきます。
Def1 → Def2
- $F(U) = \{a \in A ~|~ Ea=U\} (\subseteq A)$
- $r_{UV} : F(V) \to F(U)$
- $r_{UV}(a) = a \neg U$
- ただし $U \subseteq V$
Def2 → Def1
- $A = \bigcup_{U \in \mathfrak O(X)} F(U)$
- $Ea = U$
- ただし $a \in F(U)$ のとき
- $a \neg U = r_{WV}(a)$
- ただし $V=Ea, W=U\cap V$
1. Def1 → Def2 → Def1
\langle A,E,\neg\rangle \to (F,r) \to \langle A',E',\neg'\rangle
第一の定義の形で与えられた前層 $\langle A,E,\neg\rangle$ から第二の形 $(F,r)$ を構成し、
それを再び第一の形 $\langle A',E',\neg'\rangle$ にしたとします。
$A'$ に対する $E,\neg$ は元の $A$ に対するそれと区別する意味で、$'$ を付けておきます。
$A',E',\neg'$ それぞれが、集合や関数の意味で $A,E,\neg$ と等しいことを確かめます。
\begin{align*}
A' & = \bigcup_{U \in \mathfrak{O}(X)} F(U) \\
& = \bigcup_{U \in \mathfrak{O}(X)} \{ a \in A ~|~ Ea=U \}
\end{align*}
$a \in A$ について、$F$ の構成より
a \in F(Ea)
$Ea \in \mathfrak{O}(X)$ なので $a \in A'$ ($A'$ の構成より)。
従って $A \subseteq A'$。
$a' \in A'$ について、$A'$ の構成より
\exists U \in \mathfrak{O}(X), a' \in F(U)
$F(U) \subseteq A$ なので $a' \in A$。
従って $A' \subseteq A$。
以上から $A = A'$。
$a \in A$ について、
\begin{align*}
Ea = U
& \iff a \in F(U) ~~\cdots\text{$F$ の構成より} \\
& \iff E'(a) = U ~~\cdots\text{$E'$ の定義より}
\end{align*}
従って $E = E'$ です。
最後に $\neg$ について。
\begin{align*}
a \neg' U
& = r_{WV}(a) ~~\cdots\text{ただしここで } a \in F(V), W = V \cap U \\
& = a \neg W ~~\cdots\text{$r$ の定義より} \\
& = a \neg (V \cap U) \\
& = (a \neg V) \neg U \\
& = (a \neg Ea) \neg U \\
& = a \neg U
\end{align*}
従って $\neg = \neg'$。
以上から2つの前層 $\langle A,E,\neg\rangle$ と $\langle A',E',\neg'\rangle$ とは一致する。
2. Def2 → Def1 → Def2
(F,r) \to \langle A,E,\neg\rangle \to (F',r')
\begin{align*}
F'(U)
& = \{ a \in A ~|~ Ea = U \} \\
& = \{ a \in \bigcup_V F(V) ~|~ a \in F(U) \} \\
& = F(U)
\end{align*}
従って $F=F'$。
2つの開集合 $U \subset V$ と $a \in F'(V) (=F(V))$ について
\begin{align*}
r'_{UV}(a)
& = a \neg U \\
& = r_{WV}(a) ~~\cdots\text{ただし $W = U \cap V$} \\
& = r_{UV}(a) ~~\cdots\text{$U \subset V$ より $W = U$}
\end{align*}
従って $r_{UV} = r'_{UV}$。従って $r=r'$。
となってやはり $(F,r)$ と $(F',r')$ も完全に一致する。
めも
集合の波括弧について。
math ブロックを用いる場合、
\{ 0,1,2 \}
と書けば
\{ 0,1,2 \}
と期待通り表示される。
インラインモードを用いる場合
$\{ 0,1,2 \}$
ではダメで
$\\{ 0,1,2 \\}$
と書くことで初めて $\{ 0,1,2 \}$ と表示される。