Float を Rational に変換

はじめに

Ruby の浮動小数点数型 Float の実体は C の double であり，通常は IEEE 754 / ISO/IEC 60559 に準拠した倍精度浮動小数点数である．INFINITY や NaN を除いた有限の値は，分母が 2 の累乗である有理数となる．Ruby には多倍長整数となりうる整数型を分子，分母として保持する有理数型 Rational があるので，有限の Float に対応する値を正確に表現する Rational が必ず存在する．本記事では，その Rational 値を返すメソッド Float#to_r を，基数 Float::RADIX が 2 の場合に限定して再実装してみる．

再実装

class Float
	def to_r
		raise FloatDomainError, self.inspect unless self.finite?
		if RADIX == 2
			s, e = Math.frexp(self)
			if e < MANT_DIG
            	if self < 0.0
					Rational(-Math.ldexp(s, MANT_DIG).to_i, 1<<(MANT_DIG-e))
				else
					Rational(Math.ldexp(s, MANT_DIG).to_i, 1<<(MANT_DIG-e))
				end
			else
				Rational(self.to_i, 1)
			end
		else
			raise NotImplementedError
		end
	end
end

解説

Math.#frexp(f) -> [s, e] は，符号を除いた浮動小数点数を仮数部(浮動小数点数$\in [0.5, 1)$)と指数部(整数)に分解する関数で，$|f|=s\times 2^e$ を満たす．double の仮数部は Float::RADIX$=52+1$ ビットなので，$s\times 2^{53}$ は必ず整数となる．Math.#ldexp(s, e) -> f は，frexp の逆を行う関数なので，frexp から得た s を使って，Math.ldexp(s, 53) は整数を表す浮動小数点数を返す．これを分子，$2^{53-e}$ を分母とすればよい．ここで，分子に符号をつけるのを忘れないようにする．

ただし，e が 53 より大きいと，$2^{53-e}$ は $1$ より小さい単位分数となってしまう．これは，もとの self がそもそも整数を表している場合に相当する．よって，この場合は，self を整数型に変換したものを分子，1 を分母とすればよい．$e=53$ の場合も，self は整数である．

また，self が INFINITY や NaN の場合は，Float#to_i と同様に，FloatDomainError を上げるのがよいだろう．

Float::RADIX が 2 でない場合の実装は省略した．実際の(CRubyにおける) Float#to_r は， C 言語で，(基数が 2 の場合については)これと同等の処理(細かく見るとちょっと違うけど)が書かれている．

おわりに

本記事では，Ruby の Float が有限の場合，それに正確に対応する Rational 値を返すメソッド Float#to_r を、Float::RADIX が 2 の場合に限って再実装した．これを使うと，0.1.to_r #=> (3602879701896397/36028797018963968) などとなり，二進浮動小数点数で正確に表現できない実数の，double における実際の近似値を知ることができ，面白い．分母が $2$ の累乗である有理数は，十進でも有限の小数となるが，その桁数は膨大となる場合があり，分数のほうが少ない桁で正確に表示できる．

参考文献

• ISO/IEC 60559:2020
• Float#to_r