FileMaker API for PHP
「FileMaker API for PHP」とは、PHP を用いて FileMaker のデータを扱うための仕組みです1。「FileMaker Server」が必須ですが、この仕組みがあれば、極端な話、FileMaker のクライアント（「FileMaker Pro」など）を用いなくてもデータベースを操作することができます。
「カスタム Web 公開 with PHP」と「カスタム Web 公開 with XML」
「FileMaker API for PHP」は、「カスタム Web 公開 with PHP」という機能を用いています。FileMaker Server では、「カスタム Web 公開 with PHP」以外にも「カスタム Web 公開 with XML」という機能があり、どちらも http(s) 経由のアクセスによりデータベースを操作できます。詳しくは次項のドキュメントをご覧ください。
公式ドキュメント
「FileMaker API for PHP」の公式ドキュメント（というか説明）は以下のとおりです。
公式ドキュメントに値するものは以下の PDF です（FileMaker Server 15 版）。「FileMaker API for PHP」だけでなく「カスタム Web 公開 with XML」についての詳しい記述もあります。必読です。
クラスやメソッドに関するドキュメントは以下のローカルの場所にあります。
\Program Files\FileMaker\FileMaker Server\Documentation\PHP API Documentation
非公式ドキュメント
マイナビニュース
非公式の「FileMaker API for PHP」のドキュメントとしては何といっても「マイナビニュース」の以下のサイトが有名でしょう。
メソッドの中身をソースコードから解説したりしていて、手を動かしながら回を進めて読んでいけば、基本的な操作から発展的な操作まで問題なくできることでしょう2。
「第1回」が書かれたのは実に7年以上前（2009/02/18）ですが、未だにこのサイトの内容は普遍的に通用します。書籍で言えば全部入りの分厚い解説書タイプであり、辞書的に用いるのにも有用でしょう。
「FX.php と FileMaker API for PHP」
もう一つ、非公式の個人ブログとして以下を挙げないわけにはいかないでしょう。
こちらは具体的な実装コードが豊富で3、特定の操作がしたい際に特に参考になるのではないでしょうか。
CodeZine
CodeZine にも少しだけ記事があります。ただ、いずれも基礎的な内容であり、上記の2つのサイトでまかなえる内容ではあります。
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PHPとFileMaker ProによるWebアプリケーション構築（基礎編） (1/4)：CodeZine（コードジン）
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PHPとFileMaker ProによるWebアプリケーション構築（実装編） (1/5)：CodeZine（コードジン）
後者2つの記事は「『ITエンジニアのためのFileMaker講座』連載一覧」という連載記事の中の一部の記事です。この連載記事は FileMaker 自体の理解に役立つので読んでみるのもいいでしょう。