高校数学の「極限値」関連の問題をPythonで解く

概要

　関数の極限値に関する問題（高校数学）を Python で解いていきます。練習問題と解答例の作成支援を目的としています（教員向けものです）。

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問1

次の極限値を求めよ。

$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{5x^2-x}{4-2x^2} $$

問1の解き方（参考）

分子分母を $x^2$ で割ります。

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{5x^2-x}{4-2x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{5-\frac{1}{x}}{\frac{4}{x^2}-2} = -\frac{5}{2} $$

問1の解を与えるPythonプログラム

sympy を利用して解きます。sympy は、記号計算（数式処理）のパッケージです。無限大 $\infty$ は sympy.oo で与えます。

Python

from sympy import oo, limit, Symbol
x = Symbol('x')
fx = ( 5*x**2 - x ) / ( 4 - 2*x**2 )
ans = limit(fx, x, -oo)
print(f'解：{ans}')

実行結果

解：-5/2

おまけ1

分数関数 $\frac{5x^2-x}{4-2x^2} $ のグラフを描いてみます。$x\to -\infty$ を見るために、$x$軸をログスケールにします。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sympy import Symbol,solve

# 定義域を確認
g = ( 4 - 2*x**2 ) # 分母
sx = solve(g)
tmp = ', '.join(map(str,sx))
print(f'分母 ( {g} ) がゼロになるのは（定義域から除外されるのは） x= {tmp}　')

# グラフの描画 ここからは numpy を利用
x1 = -np.logspace(-2, 4, num=100)[::-1] # -10e4  ～ -10e-2
x2 =  np.logspace(-2, 4, num=100)       #  10e-2 ～  10e4
x  =  np.concatenate([x1,x2])
f = lambda x : ( 5*x**2 - x ) / ( 4 - 2*x**2 ) 
y = f(x)
plt.figure(dpi=120)
plt.plot(x, y, marker='.')
plt.ylim(-10,10)
plt.xscale('symlog') # 対称ログスケール
plt.show()

おまけ1の実行結果

分母 ( -2*x**2 + 4 ) がゼロになるのは（定義域から除外されるのは） x= -sqrt(2), sqrt(2)　

グラフからも、$x\to -\infty$ で、$-2.5$ に収束することが推測できます。

おまけ2

定義域から外れる $x= \pm\sqrt{2}$ でどのような値に近づくのかを見てみます。ここでは $\sqrt{2}$ について、右側（$\sqrt{2}+\delta$）からと左側（$\sqrt{2}-\delta$）からのアプローチしたときの値を見てみます。つまり、$x\to \sqrt{2}^{+}$、$x\to\sqrt{2}^{-}$ のときの極限値を求めます。

sympy.limit() の第4引数に、'+' または '-' を設定します。

Python

from sympy import limit, Symbol,sqrt
x = Symbol('x')
fx = ( 5*x**2 - x ) / ( 4 - 2*x**2 )
ans1 = limit(fx, x, sqrt(2), '+')
ans2 = limit(fx, x, sqrt(2), '-')
print(f'解：{ans1}, {ans2}')

おまけ2の実行結果

グラフの結果と一致します。

解：-oo, oo

問2

次の極限値を求めよ。

$$ \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1}-x ) $$

問2の解き方（参考）

\begin{align}
\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1}-x )  & = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}  \\
& =  \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} \\
& =  \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \\
& = 0
\end{align}

問2の解を与えるPythonプログラム

Python

from sympy import oo, limit, Symbol, sqrt
x = Symbol('x')
fx = sqrt(x**2+1)-x
ans = limit(fx, x, oo)
print(f'解：{ans}')

実行結果

解：0