1.3.2

練習問題1.34

f(x) = x(2)
のとき
f(f) は、 f(f) = f(2) = 2(2)

2は引数を取る手続きではないためエラー

(define (f g) (g 2))
(print "1.34 sample:"
       (f (lambda (x) (* x x)))) ;; 4

(f f) ;; *** ERROR: invalid application: (2 2)

疑問

defineとletの使い分け方。

define は内部手続きの定義 に限定して使うようにしています。

注釈54:
 内部定義を十分に理解し、望むとおりの意味をプログラムに確実に持たせられるようになるには、
 この章で紹介したものよりも精巧な評価プロセスのモデルが必要です。
 しかし、手続きの内部定義ではこの微妙な問題は起こりません。
 4.1.6 節で評価についてより深く学んだのちに、この問題に戻ってきます。

というようにあるけど、まだよくわからない。
そのほうが設計しやすいよーってこと？また4章でじっくりやるっぽい。

@hio-harp: 定数はletでかいて関数をdefineでかいたりする

1.3.3

関数の不動点 f(x) = xを満たす時, xを不動点と呼ぶ
不動点 - Wikipedia

練習問題1.35

黄金比 φ(1.2.2 節) が x → 1 + 1/x という変形の不動点であることを示し、そのことを利用して φ を fixed-point 手 続きによって求めよ。

黄金比は

φ^2 = φ + 1

黄金比に

x \mapsto 1 + \frac{1}{x}

という不動点があることを示す。

不動点とは、以下の式が成り立つ x

f(x) = x

xが0の時、x^2 = x + 1 は成り立たない。

\begin{align}

φ^2 &= φ + 1 \\ φ^2 - φ - 1 &= 0 \\ 
φ - 1 - \frac{1}{φ} &= 0 (φ \neq 0)\\ 

\end{align}

ここまで描いて、「で？」ってなってる。示すのよくわかない・・・。


;; 1.35
(define tolerance 0.00001)
(define (fixed-point f first-guess)

  (define (close-enough? v1 v2)
    (< (abs (- v1 v2)) tolerance))

  (define (try guess)
    (let ((next (f guess)))
      (if (close-enough? guess next)
	  next
	  (try next)))) (try first-guess))

(fixed-point (lambda (x) (+ 1 (/ 1.0 x)) ) 1) ;;φ = 1.6180327868

練習問題1.36

x^x = 1000

のxを求めよ

;; ふつうver
(define (fixed-point f first-guess)
  (define tolerance 0.00001)
  (define (close-enough? v1 v2)
    (< (abs (- v1 v2)) tolerance))
  (define cnt 0)

  (define (try guess counter)
    (print counter ":" guess)
    (let ((next (f guess)))
      (if (close-enough? guess next)
	  next
	  (try next (+ counter 1)))))

  (try first-guess 0))

(define point (fixed-point (lambda (x) (/ (log 1000) (log x))) 2))
;; 1:9.965784284662087
;; 2:3.004472209841214
;; 3:6.279195757507157
;; 4:3.759850702401539
;; 5:5.215843784925895
;; 6:4.182207192401397
;; 7:4.8277650983445906
;; 8:4.387593384662677
;; 9:4.671250085763899
;; 10:4.481403616895052
;; 11:4.6053657460929
;; 12:4.5230849678718865
;; 13:4.577114682047341
;; 14:4.541382480151454
;; 15:4.564903245230833
;; 16:4.549372679303342
;; 17:4.559606491913287
;; 18:4.552853875788271
;; 19:4.557305529748263
;; 20:4.554369064436181
;; 21:4.556305311532999
;; 22:4.555028263573554
;; 23:4.555870396702851
;; 24:4.555315001192079
;; 25:4.5556812635433275
;; 26:4.555439715736846
;; 27:4.555599009998291
;; 28:4.555493957531389
;; 29:4.555563237292884
;; 30:4.555517548417651
;; 31:4.555547679306398
;; 32:4.555527808516254
;; 33:4.555540912917957
;; 4.555527808516254

;; 4.555527808516254 ** 4.555527808516254 = 999.9801294506152



;; 平均緩和法ver
(define (fixed-point f first-guess)
  (define tolerance 0.00001)
  (define (close-enough? v1 v2)
    (< (abs (- v1 v2)) tolerance))

  (define (average v1 v2) (/(+ v1 v2) 2))

  (define (try guess counter)
    (print counter ":" guess)
    (let ((next (average guess (f guess))))
      (if (close-enough? guess next)
	  next
	  (try next (+ counter 1)))))

  (try first-guess 0))

(define point (fixed-point (lambda (x) (/ (log 1000) (log x))) 2))
;; 0:2
;; 1:5.9828921423310435
;; 2:4.922168721308343
;; 3:4.628224318195455
;; 4:4.568346513136242
;; 5:4.5577305909237005
;; 6:4.555909809045131
;; 7:4.555599411610624
;; 8:4.5555465521473675
;; 試行回数めっちゃ減った！！！！！！！

平均緩和法すごい・・・。
宿題：なんでこんなに減るのかちゃんと調べる