はじめに

期末試験が終わり、相対論の授業で扱った問題のうちいくつかをピックアップしてまとめようと思いました。
特に、私のように数学が苦手な方にも分かりやすく解説できたらなと思います。
また、本記事では導出はしません。「テスト前にどう考えて覚えるべきか？」という視点から、最小限の知識で解くことを目標としています。

本記事では光速を $c$ としています。単位系によっては $c=1$ とする場合もあるので気を付けてください。

世界間隔

問題

事象 $\renewcommand{\mp}{\mathcal P} \mp: (ct, x, y, z) = (1,2,3,4)$ と次の事象との世界間隔を求めよ。また、2つの事象はどんな関係か答えよ。
(1) $\renewcommand{\ma}{\mathcal A} \ma: (0,0,0,0)$
(2) $\renewcommand{\mb}{\mathcal B} \mb: (-4, 5, -1, 4)$

解説

世界間隔
$\renewcommand{\mq}{\mathcal Q}$ 事象 $\mp: (ct_\mp, x_\mp, y_\mp, z_\mp)$ と事象 $\mq: (ct_\mq, x_\mq, y_\mq, z_\mq)$ 間の世界間隔 $\renewcommand{\sekai}{\Delta s^2} \sekai$ は、

\sekai_{\mp\mq} = -(ct_\mp-ct_\mq)^2 + (x_\mp-x_\mq)^2 + (y_\mp-y_\mq)^2 + (z_\mp-z_\mq)^2

と求められる。

時間成分の2乗だけマイナスにすればいいだけ！これは簡単ですね。
ちなみに私は、（時間成分ってもしかして $(i\Delta t)^2$ みたいな感じなのでは…？）と思って覚えました。この発想はあってるのか知りません。

(1)

世界間隔は、

\begin{align*}
    \sekai_{\mp\ma} &= -(1-0)^2 + (2-0)^2 + (3-0)^2 + (4-0)^2 \\
                    &= -1 + 4 + 9 + 16\\
                    &= 28
\end{align*}

$\sekai_{\mp\ma} > 0$ より、空間的な関係である。

(2)

世界間隔は、

\begin{align*}
    \sekai_{\mp\mb} &= -5^2 + 3^2 + 4^2 \\
                    &= 0
\end{align*}

$\sekai_{\mp\mb} = 0$ より、光的 ( null ) な関係である。

2つの事象の関係

$\sekai > 0$ のとき： 空間的
$\sekai = 0$ のとき：光的 ( null )
$\sekai < 0$ のとき： 時間的

ローレンツ変換

問題1: 座標の変換

慣性系 $\renewcommand{\mo}{\mathcal O} \mo$ から見て $\renewcommand{\bm}{\boldsymbol} \bm v = (V, 0,0)$ の速度で進む慣性系 $\bar\mo$ がある。 $\mo$ 系から $\bar\mo$ 系へのローレンツ変換を記せ。

解説

時間についての変換は、

c\bar t = \gamma\left(ct - \frac{V}{c}x \right)

です。ここで、$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$ は相対論では切っても切れないくらい頻繁に出てくるガンマ因子（ローレンツ因子）です。この記事の定義では、ガンマ因子の $V$ には、速度 $\bm v$ の成分 $(V,0,0)$ が入ることに注意してください。
また、空間についての変換は、

\begin{align*}
    \bar x &= \gamma\left(x - \frac{V}{c}\cdot ct \right)\\
    \bar y &= \gamma'\left(y - \frac{0}{c}\cdot ct \right)\\
    \bar z &= \gamma'\left(z - \frac{0}{c}\cdot ct \right)
\end{align*}

です。お気付きでしょうか。すべて同じ形をしています！
この形だとすごく覚えやすいです。また、 $\gamma' \equiv \frac{1}{\sqrt{1-\frac{0}{c^2}}} = 1$ としています（∵ 速度の $y,z$ 成分は0）。
そして形を整えると、

\begin{align*}
    c\bar t &= \gamma\left(ct - \frac{V}{c}x \right)\\
    \bar x &= \gamma\left(x - Vt \right)\\
    \bar y &= y\\
    \bar z &= z\\
\end{align*}

ただし、（もういちど書くと）

\gamma \equiv \cfrac{1}{\sqrt{1-\cfrac{V^2}{c^2}}}

となります。

逆変換

ちなみにローレンツ逆変換は、$\bar\mo$ 系から $\mo$ 系への変換だから、$+V \rightarrow -V$ とすればよく、

\begin{align*}
    c\bar t &= \gamma\left(ct + \frac{V}{c}x \right)\\
    \bar x &= \gamma\left(x + Vt \right)\\
    \bar y &= y\\
    \bar z &= z\\
\end{align*}

ただし、

\gamma \equiv \cfrac{1}{\sqrt{1-\cfrac{V^2}{c^2}}}

となります。

問題2：速度の変換

慣性系 $\renewcommand{\mo}{\mathcal O} \mo$ から見て $\renewcommand{\bm}{\boldsymbol} \bm v = (V, 0,0)$ の速度で進む慣性系 $\bar\mo$ がある。
$\bar\mo$ 系の速度 $\renewcommand{\dx}{\frac{dx}{dt}}\renewcommand{\dy}{\frac{dy}{dt}}\renewcommand{\dz}{\frac{dz}{dt}}\renewcommand{\dxb}{\frac{d\bar{x}}{d\bar{t}}}\renewcommand{\dyb}{\frac{d\bar{y}}{d\bar{t}}}\renewcommand{\dzb}{\frac{d\bar{z}}{d\bar{t}}} \left(\dxb,\dyb,\dzb\right)$ を、 $\mo$ 系の速度 $\left(\dx,\dy,\dz\right)$ で表せ。

解説

大学数学（解析）で学んだ、2変数関数の全微分を思い出しましょう。

全微分
2変数関数 $f(x,y)$ の全微分は、

df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy

である。

ちなみにこれは多変数関数でも同様に成り立ちましたね。
これをローレンツ変換の式に適用してあげます。まずは手始めに $\bar x$ についてだけ見ていきましょうか。
ローレンツ変換の式

\begin{align*}
    \bar t &= \gamma\left(t - \frac{V}{c^2}x \right)\\
    \bar x &= \gamma\left(x - Vt \right)
\end{align*}

を全微分して、

\begin{align}
    d\bar t &= \gamma\left(dt - \frac{V}{c^2}dx \right)\\
    d\bar x &= \gamma(dx-Vdt)
\end{align}

となります。あとは分数のように $d\bar x/d\bar t$ を計算するだけです。今回は $\gamma$ が相殺して、

\begin{align}
    \frac{d\bar x}{d\bar t} &= \frac{dx-Vdt}{dt - \frac{V}{c^2}dx}\\
    &= \frac{\frac{dx}{dt} - V}{1 - \frac{V}{c^2}\frac{dx}{dt}}
\end{align}

と求まります。
$y, z$ についても同様です。全微分すると、

\begin{align}
    d\bar y &= dy\\
    d\bar z &= dz
\end{align}

となるので、

\begin{align}
    \frac{d\bar y}{d\bar t} &= \frac{1}{\gamma}\frac{dy}{dt - \frac{V}{c^2}dx}\\
        &= \frac{1}{\gamma}\frac{\frac{dy}{dt}}{1-\frac{V}{c^2}\frac{dx}{dt}}\\
    \frac{d\bar z}{d\bar t} &= \frac{1}{\gamma}\frac{\frac{dz}{dt}}{1-\frac{V}{c^2}\frac{dx}{dt}}
\end{align}

と求まります。

問題3：棒の長さ

慣性系 $\renewcommand{\mo}{\mathcal O} \mo$ から見て $\renewcommand{\bm}{\boldsymbol} \bm v = (V, 0,0)$ の速度で進む慣性系 $\bar\mo$ がある。
棒の向きが速度 $\bm v$ に対して平行および垂直な場合について、棒の長さを求めよ。

解説

i) 棒の向きが v に対して平行な場合

時空図に棒を描く。（省略。後日追記するかも）棒は $\bar x$ 上に存在。

1) $\bar x$ と $\renewcommand{\mc}{\mathcal C} \sekai_{\ma\mc} = l^2$ の交点より、$(x_\mc, ct_\mc)$を求める
$\bar x$ は、
$$
ct = \frac{V}{c}x \tag{3.1}
$$
と表せ、$\sekai_{\ma\mc} = l^2$ より、
$$
-(ct)^2 + x^2 = l^2 \tag{3.2}
$$
となる。よって、(3.1)を(3.2)に代入して、

\begin{align*}
\left( 1 - \frac{V^2}{c^2} \right) x^2 &= l^2\\
\gamma^2 x^2 &= l^2\\
\therefore x_\mc &= \gamma l
\end{align*}

これと(3.1)より、
$$
\therefore ct_\mc = \frac{V}{c}\gamma l
$$
したがって、$(x_\mc, ct_\mc) = (\gamma l, \frac{V}{c}\gamma l) $ と求まった。

2) 棒の先端の世界線の方程式より、$x_\mb$ を求める。
棒の先端の世界線の方程式は、 $c\bar t$ の方程式 $ct = \frac{c}{V}x$ と平行であることより、

\begin{align*}
ct - ct_\mc &= \frac{c}{V}(x-x_\mc)\\
\end{align*}

ここで、 $(x, ct) = (x_\mb, ct_\mb)$ を代入して、

\begin{align*}
x_\mb-x_\mc &= -Vt_\mc\\
\therefore x_\mb &= x_\mc - Vt_\mc\\
&= \gamma l - V\frac{V}{c^2}\gamma l\\
&= \gamma \left( 1 - \frac{V^2}{c^2} \right) l\\
&= \frac{l}{\gamma}
\end{align*}

ii) 棒の向きが v に対して垂直な場合

棒の長さは変化せず、 $l$。

申し訳ない

※本記事はもう少し書くつもりでした。「棒の長さ」に関しては、解説も雑になってしまいました。その点ご了承いただくこととして、とりあえずは公開することと致しました。今後、追記や修正等、少しずつ更新するかもしれません。