数学

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漸化式

三角関数

正弦定理

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R  \\

余弦定理

a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cos A \\
b^2 = c^2 + a^2 -2ca \cos B \\
c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos C \\

加法定理

\begin{array}{rl}
\sin(x + y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y \\
\sin(x - y) &= \sin x \cos y - \cos x \sin y \\
\cos(x + y) &= \cos x \cos y - \sin x \sin y \\
\cos(x - y) &= \cos x \cos y + \sin x \sin y \\
\tan(x + y) &= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} \\
\tan(x - y) &= \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y} \\
\end{array}

和積の公式

\begin{array}{rl}
\sin x + \sin y &= 2 \sin(\frac{x + y}{2}) \cos(\frac{x - y}{2}) \\
\sin x - \sin y &= 2 \cos(\frac{x + y}{2}) \sin(\frac{x - y}{2}) \\
\cos x + \cos y &= 2 \cos(\frac{x + y}{2}) \cos(\frac{x - y}{2}) \\
\cos x - \cos y &= -2 \sin(\frac{x + y}{2}) \sin(\frac{x - y}{2}) \\
\end{array}

合成公式

\begin{array}{rl}
a \sin x + b \cos x &= \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \alpha) \\
\\
\alpha は以下を満たす角度 \\
\cos \alpha &= \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\
\sin \alpha &= \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\
\end{array}

倍角・３倍角・半角の公式

\\
\begin{array}{rl}
\sin 2x  &= 2 \sin x \ cos x \\
\cos 2x  &= 2 \cos^2 - 1 \\
         &= 1 - 2 \sin^2 x \\
\tan 2x  &= \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} \\
　\\
\sin 3x  &= -4 \sin^3 x + 3 \sin x \\
\cos 3x  &= 4 \cos^3 x - 3 \cos x \\
　\\
\sin^2 x &= \frac{1 - \cos 2x}{2} \\
\cos^2 x &= \frac{1 + \cos 2x}{2} \\
\tan^2 x &= \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x} \\
\end{array}

三角関数の証明

弧度法

\begin{array}{l}
１周(360^\circ)を 2 \pi とすると \\
\\
扇形の長さの比から、 2 \pi : \theta = 2 \pi r : l \\
\therefore l = r \theta \\
扇形の面積の比から、 2 \pi : \theta = \pi r^2 : S \\
\therefore S = \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} rl \\
\end{array}

微分積分

微分

Σ計算

\\
\begin{array}{ll}
\sum_{k=1}^{n}k   &= \frac{n(n + 1)}{2} \\
　\\
\sum_{k=1}^{n}k^2 &= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\
　\\
\sum_{k=1}^{n}k^3 &= \{\frac{n(n + 1)}{2}\}^2 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4} \\
　\\
\sum_{k=1}^{n}c   &= nc \\
\end{array}

Σ計算の証明

極限

0/0 の不定形の問題

強い 0 / 弱い 0 （収束）※分子が分母よりさきに早く小さくなっていく

\frac{0.0000000004}{0.001} \Longrightarrow 0（収束）　　\left[ \frac{強い 0}{弱い 0} \Rightarrow 0 \right] \\

弱い 0 / 強い 0 （発散）※分母が分子よりさきに早く小さくなっていく

\frac{0.005}{0.0000000002} \Longrightarrow \infty（発散）　　\left[ \frac{弱い 0}{強い 0} \Rightarrow \infty \right] \\

同じ強さの 0 / 同じ強さの 0 （収束）

\frac{0.00001}{0.00003} \Longrightarrow \frac{1}{3}（収束）　　\left[ \frac{同じ強さの 0}{同じ強さの 0} \Rightarrow 有限な値 \right] \\

三角関数の極限公式

\\
\begin{array}{l}
\\
1. \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \\
\\
2. \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \\ 
\\
3. \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \\
\\
1～3 は \frac{同じ強さの 0}{同じ強さの 0} となるので、逆数も同様となる \\
\\
4. \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 \\
\\
5. \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1 \\ 
\\
6. \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1 - \cos x} = 2 \\
\end{array}

三角関数の極限公式の証明

微分係数の定義式

\\
\begin{array}{ll}
(1) f'(a) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}　※x=a に対して右から近づくので「右側微分係数」 \\
(2) f'(a) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(a) - f(a-h)}{h}　※x=a に対して左から近づくので「左側微分係数」\\
(3) f'(a) &= \lim_{b \to a} \frac{f(b) - f(a)}{h} \\
\end{array}

ネイピア数

指数関数 y = a^x の x = 0 における傾きが 1 となるときの底 a の値 \\
　\\
微分係数 f'(x) の定義式から指数関数 y = a^x (a > 0) の x = 0 における微分係数 f'(0) は \\
　\\
　\\
\begin{array}{ll}
f'(0) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}\\
&= \lim_{h \to 0} \frac{a^{0+h} - a^0}{h}\\
&= \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}\\
\end{array}\\
　\\
　\\
f'(0) = 1 のときの底 a の値を e とすると\\
\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1 \Longrightarrow \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\\

自然対数の公式

\\
\begin{array}{ll}
(1) \log 1 &= 0　\because e^0 = 1\\
(2) \log e &= 1　\because e^1 = e\\
(3) \log xy &= \log x + \log y\\
(4) \log \frac{x}{y} &= \log x - \log y\\
(5) \log x^p &= p \log x\\
(6) \log_a x &= \frac{\log x}{\log a}\\
\end{array}

指数・対数関数の極限公式

\\
\begin{array}{ll}
(1)  \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} &= 1\\
(1)' \lim_{x \to 0} \frac{x}{e^x - 1} &= 1　\because \frac{同じ強さの 0}{同じ強さの 0}\\
(2)  \lim_{x \to 0} \frac{log (1 + x)}{x} &= 1\\
(2)' \lim_{x \to 0} \frac{x}{log (1 + x)} &= 1　\because \frac{同じ強さの 0}{同じ強さの 0}\\
(3)  \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} &= e\\
(4)  \lim_{x \to \pm \infty} (1 + \frac{1}{x})^x &= e\\
\end{array}

指数・対数関数の極限公式の証明

導関数の定義式

微分係数とにているが、微分係数はあくまで定数値。
微分係数はxの位置によって値が変わるので、微分係数をxの関数として表したものが導関数。

\\
\begin{array}{ll}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\\
&= \lim_{h \to 0} \frac{f(x) - f(x - h)}{h}\\
\end{array}

微分公式

\\
\begin{array}{ll}
任意の*実数* \alpha について以下が成り立つ\\
(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}\\
\end{array}

基本公式\\
\begin{array}{ll}
(1) &(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}\\
(2) &(\sin x)' = \cos x\\
(3) &(\cos x)' = - \sin x\\
(4) &(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\\
(5) &(e^x)' = e^x\\
(6) &(a^x)' = a^x \log a\\
(7) &(\log x)' = \frac{1}{x} (x > 0)\\
(8) &\{\log f(x)\}' = \frac{f'(x)}{f(x)} (f(x) > 0)\\
\end{array}\\
ただし、\alpha は実数、a > 0 かつ a \neq 1

　\\
導関数の性質\\
f(x)、g(x) が微分可能なとき、以下の式が成り立つ\\
\begin{array}{ll}
(1) &\{k \cdot f(x) \}' = k \cdot f(x)'\\
(2) &\{ f(x) \pm g(x)\}' = f(x)' + g(x)'\\
\end{array}

　\\
微分の重要公式\\
f(x) = f、g(x) = g とすると、以下の公式が成り立つ\\
\begin{array}{ll}
(1) &(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'\\
(2) & \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}\\
(3) &y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}\\
\end{array}

微分公式の証明

積分公式