ベクトル解析-２階テンソルとベクトルの積

２階テンソルとベクトルの積

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• ２階テンソルの前からベクトルを掛けると、２階テンソルの前とベクトルが同じ場合のみ２階テンソルの後のモノが出てくる。
  ２階テンソルの後ろのもの取り出したいなら、２階テンソルの前と同じベクトルを前から掛ける。

\begin{array}{lll}
\hline
　e_x \cdot (e_x \otimes e_x) = e_x, & e_x \cdot (e_x \otimes e_y) = e_y, & e_x \cdot (e_x \otimes e_z) = e_z　\\
　e_x \cdot (e_y \otimes e_x) = 0,   & e_x \cdot (e_y \otimes e_y) = 0,   & e_x \cdot (e_y \otimes e_z) = 0　\\
　e_x \cdot (e_z \otimes e_x) = 0,   & e_x \cdot (e_z \otimes e_y) = 0,   & e_x \cdot (e_z \otimes e_z) = 0　\\
\hline
　e_y \cdot (e_x \otimes e_x) = 0,   & e_y \cdot (e_x \otimes e_y) = 0,   & e_y \cdot (e_x \otimes e_z) = 0\\
　e_y \cdot (e_y \otimes e_x) = e_x, & e_y \cdot (e_y \otimes e_y) = e_y, & e_y \cdot (e_y \otimes e_z) = e_z\\
　e_y \cdot (e_z \otimes e_x) = 0,   & e_y \cdot (e_z \otimes e_y) = 0,   & e_y \cdot (e_z \otimes e_z) = 0\\
\hline
　e_z \cdot (e_x \otimes e_x) = 0,   & e_z \cdot (e_x \otimes e_y) = 0,   & e_z \cdot (e_x \otimes e_z) = 0\\
　e_z \cdot (e_y \otimes e_x) = 0,   & e_z \cdot (e_y \otimes e_y) = 0,   & e_z \cdot (e_y \otimes e_z) = 0\\
　e_z \cdot (e_z \otimes e_x) = e_x, & e_z \cdot (e_z \otimes e_y) = e_y, & e_z \cdot (e_z \otimes e_z) = e_z\\
\hline\\
\end{array}

• ２階テンソルの後からベクトルを掛けると、２階テンソルの後とベクトルが同じ場合のみ２階テンソルの前のモノが出てくる。
  ２階テンソルの前のもの取り出したいなら、２階テンソルの後ろと同じベクトルを後ろから掛ける。

\begin{array}{lll}
\hline
　(e_x \otimes e_x) \cdot e_x = e_x, & (e_x \otimes e_y) \cdot e_x = 0,   & (e_x \otimes e_z) \cdot e_x = 0　\\
　(e_y \otimes e_x) \cdot e_x = e_y, & (e_y \otimes e_y) \cdot e_x = 0,   & (e_y \otimes e_z) \cdot e_x = 0　\\
　(e_z \otimes e_x) \cdot e_x = e_z, & (e_z \otimes e_y) \cdot e_x = 0,   & (e_z \otimes e_z) \cdot e_x = 0　\\
\hline
　(e_x \otimes e_x) \cdot e_y = 0,   & (e_x \otimes e_y) \cdot e_y = e_x, & (e_x \otimes e_z) \cdot e_y = 0　\\
　(e_y \otimes e_x) \cdot e_y = 0,   & (e_y \otimes e_y) \cdot e_y = e_y, & (e_y \otimes e_z) \cdot e_y = 0　\\
　(e_z \otimes e_x) \cdot e_y = 0,   & (e_z \otimes e_y) \cdot e_y = e_z, & (e_z \otimes e_z) \cdot e_y = 0　\\
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　(e_x \otimes e_x) \cdot e_z = 0,   & (e_x \otimes e_y) \cdot e_z = 0,   & (e_x \otimes e_z) \cdot e_z = e_x　\\
　(e_y \otimes e_x) \cdot e_z = 0,   & (e_y \otimes e_y) \cdot e_z = 0,   & (e_y \otimes e_z) \cdot e_z = e_y　\\
　(e_z \otimes e_x) \cdot e_z = 0,   & (e_z \otimes e_y) \cdot e_z = 0,   & (e_z \otimes e_z) \cdot e_z = e_z　\\
\hline
\end{array}