合成公式の導出

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合成公式

加法定理より
\begin{array}{ll}

\sqrt{a^2 + b^2}{\sin(x + \alpha)} &= \sqrt{a^2 + b^2}(\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha) \\
ここで、\\
\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\
\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\
とすると \\
\sqrt{a^2 + b^2}{\sin(x + \alpha)} &= \sqrt{a^2 + b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x) \\
&= a \sin x + b \cos x \\
\\
\therefore a \sin x + b \cos x &= \sqrt{a^2 + b^2}{\sin(x + \alpha)} \\
\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\
\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\

\end{array}