$0 パラメータには、起動中のシェルスクリプト名がセットされています。

bash のコンソール上の場合

/bin/bash がセットされています。

example1

$ echo "$0"
/bin/bash

シェルスクリプト内の場合

その実行したシェルスクリプト名がセットされています。

example2.sh

# !/bin/bash
echo "$0"

result2

$ ./example2.sh
./example2.sh

basename コマンドを使ってスクリプト名だけ取り出す

bash のコンソール上の場合

example3

$ basename "$0"
bash

シェルスクリプト内の場合

example4.sh

# !/bin/bash
basename "$0"

result4

$ ./example4.sh
example4.sh

シェルの -c オプション

man bash で調べると、-c オプションに関して以下のような記述があります。

-c   If the -c option is present, then commands are read from the first non-option argument command_string.
If there are arguments after the command_string, the first argument is assigned to $0 and any remaining arguments are assigned to the positional parameters.
The assignment to $0 sets the name of the shell, which is used in warning and error messages.

つまり、以下のように記述すると、$0 に test、$1 に hello がセットされます。

example5

$ /bin/bash -c 'echo "$0"; echo "$1"' test hello
test
hello