そもそもMySQLとmysql2は、別物##

MySQLは皆さんご存知、データベースなんですが、
mysql2ってのはRails専用のgemのことで、データベースとRailsを繋いでくれる架け橋と解釈しています。

mysql2のエラーについて##

$ bundle install --path vendor/bundle

An error occurred while installing mysql2 (0.5.3), and Bundler cannot continue.
Make sure that `gem install mysql2 -v '0.5.3' --source 'https://rubygems.org/'` succeeds before bundling.

$ gem install mysql2 -v '0.5.3'

ERROR:  While executing gem ... (Gem::FilePermissionError)
    You don't have write permissions for the /Library/Ruby/Gems/2.3.0 directory.

そして、さらにbundle installしても、、、という「お、俺のそばに近寄るなァァァ！！」と無限ループの住民になってしまったあなた。

私もそこの住人でしたが、安心してください、脱出できます笑

解決方法###

結論、mysql2をインストールしたことを無かったことにすれば良いのです。

ここで、出てくるのがおなじみGemfileと、Gemfile.lockです。

Gemfileはいうならば、ゲームソフトを買いに行く時の「買うものリスト」で、
Gemfile.lockは、「領収書」です。

bundle installするときは、この買う物リストにあるソフトを見てgemをインストールするのですが、
今エラーの原因になってるのは、「領収書にあるゲームソフトをまた買いに行くの？」ってなってる状態なんです。

ゲームソフトを遊ぶ用、観賞用、保存用としている方なら別ですが笑
それは、おいときまして。

ということで、買ったことを無かったことにてして、新シリーズ版を買いなおしましょう。という話です。
とはいってもやることは、2つ。

$ gem uninstall mysql2

Gemfile.lock

mysql2と名のつくものを削除

そして、買いなおしましう！

$ bundle install --path vendor/bundle