使い方合ってるかは保証しません。
自己責任でご利用ください。

準備

async function getValuesFromChromeStorage (key) {
  let results = null;
  
  await new Promise(function (resolve) {
    chrome.storage.sync.get([key], function (values) {
      results = values[key];
      resolve();
    });
  });
  return results;
}

使う

async function example () {
  // getValuesFromChromeStorageの処理を待つ。
  // hogeというキーのStorageデータを取得する。
  const values = await getValuesFromChromeStorage('hoge');
  // getValuesFromChromeStorageの処理が終わったら結果が表示される。
  console.log(values);
}

// 実行
example();

▼即時関数の場合▼

(async() => {
  const values = await getValuesFromChromeStorage('hoge');
  console.log(values);
})();