#環境
Dockerホスト - Alpine Linux 3.13.5
＃ESXi上に組みましたが、本質的にUbuntuでも何でも変わらないです。ちなみにメモリ384MB、HDD8GBです
Dckerバージョン - 20.10.6
Dockerイメージ - alpine:3.13.5
mini_httpd - 1.30-r1

#操作
##Dockerホストでの操作
###Dockerのインストール

dockerイメージのあるリポジトリを有効にします。

/etc/apk

host:~#vi repositories
#/media/cdrom/apks
http://dl-cdn.alpinelinux.org/alpine/v3.13/main
#http://dl-cdn.alpinelinux.org/alpine/v3.13/community
#http://dl-cdn.alpinelinux.org/alpine/edge/main
http://dl-cdn.alpinelinux.org/alpine/edge/community  <== '#'を削る
http://dl-cdn.alpinelinux.org/alpine/edge/testing    <== '#'を削る

で、いつものおまじない。

host:~# apk update
host:~# apk upgrade

そしてDockerをインストールします。

host:~# apk add docker
host:~# rc-update add docker boot
host:~# service docker start

再起動したら動作確認します。

host:~# docker image ls
REPOSITORY   TAG       IMAGE ID       CREATED       SIZE

と出ればok。「dockerサービスが動いてないよ」というエラーが出たらrebootしてみてください。
で、サクッとalpineなコンテナを作って中に入ります。

host:~# docker container run -dit --name miniweb --hostname miniweb alpine:3.13.5 tail -f /dev/null
host:~# docker container exec -it miniweb /bin/ash

"miniweb"部分は適当に変えてください。

##Dockerイメージでの操作
いつものおまじない。

miniweb:~# apk update
miniweb:~# apk upgrade

そしてopenRCとmini_httpdをインストールします。

miniweb:~# apk add openrc
miniweb:~# mkdir /run/openrc
miniweb:~# touch /run/openrc/softlevel
miniweb:~# apk add mini_httpd

mini_httpdの設定ファイルを修正します。最低限必要なのはこれだけ。

/etc/mini_httpd

miniweb:~# vi mini_httpd.conf
port=80
user=minihttpd
data=/var/www/localhost/htdocs
cgipat=**.sh|**.cgi
nochroot
logfile=/var/log/mini_httpd/mini_httpd.log

適当にwebコンテンツを作ります。

/var/www/localhost/htdocs

miniweb:~#vi index.cgi
#!/bin/sh
echo "Content-type: text/html"
echo ""
set

miniweb:~# chmod +x index.cgi

mini_httpdを起動サービスに登録します。

miniweb:~# rc-update add mini_httpd boot
miniweb:~# rc-service mini_httpd start
miniweb:~# reboot

以上。
どっかからcurlででも試してみてください。

host:~# apk add curl
host:~# curl 172.17.0.2
...
(環境変数の一覧が出てきます)
...

#補足

最後の curl で「httpdがあがってない」エラーが出るときは mini_httpd サービスが起動していません。
手動で起動してみてください。

host:~# docker exec -it miniweb /bin/ash
miniweb:~# rc boot
miniweb~#:rc-satus
Runlevel: boot
 mini_httpd
...

'rc-service'や'rc-update'だと「もう起動してるよ」とエラーになります。