GitHub に Mermaid がサポートされるようになったので、マークダウン中にいい感じのグラフを描画できるようになりましたね。
しかし、 Mermaid で作成される画像は SVG 形式なので、ブラウザからだと「名前をつけて画像を保存」ができません。

この記事は、いい感じの図ができたから Slack で共有しようと思ったのに、保存できなくて焦った人など向けに作ったものです。
最後の方でブラウザの開発者ツールの話が出ますが、そこから HTML 文書をコピペするだけでいいのでは? と思いつく方は対象にしておりません。

TL;DR

サンプルが以下です。

See the Pen Download SVG by Kitagawa (@aster-mnch) on CodePen.

保存処理だけを抜き出したのが以下です。

function downloadSvg(svgNode, filename) {
  const svgText = new XMLSerializer().serializeToString(svgNode);
  const svgBlob = new Blob([svgText], { type: 'image/svg+xml' });
  const svgUrl = URL.createObjectURL(svgBlob);

  const a = document.createElement('a');
  a.href = svgUrl;
  a.download = filename;

  document.body.appendChild(a);
  a.click();

  document.body.removeChild(a);
  URL.revokeObjectURL(svgUrl);
}

説明

対象の SVG テキストを取得

const svgText = new XMLSerializer().serializeToString(svgNode);

ファイル保存するために SVG テキストデータを取得する必要がありますが、単純に .toString() としても '[object SVGSVGElement]' しか返ってきません。
そのため XMLSerializer.serializeToString() を使って文字列として取得します。

保存用の Blob オブジェクトを作成

const svgBlob = new Blob([svgText], { type: 'image/svg+xml' });
const svgUrl = URL.createObjectURL(svgBlob);

// ...

URL.revokeObjectURL(svgUrl);

先で取得した SVG テキストをファイル形式で保存するために Blob オブジェクトを作成します。
作成した Blob から URL.createObjectURL() でダウンロード用の URL を作成することができます。
この URL はスコープを抜けても解放されないので、不要になったら URL.revokeObjectURL() で解放しましょう。

a 要素を使ったダウンロード処理

const a = document.createElement('a');
a.href = svgUrl;
a.download = filename;

document.body.appendChild(a);
a.click();

document.body.removeChild(a);

最後に、作成した Blob URL からファイルをダウンロードできるように a 要素を使います。
download 属性を使うことで、 href に指定した URL からファイルをダウンロードすることができます。
また、 Blob URL と同様に、 document.body.appendChild で追加したノードはドキュメントに紐づいているため、スコープを抜ける前に document.body.removeChild で削除しましょう。

おまけ

保存したい対象の SVG 要素を選択する場合は、一から作るか document.getElementById() や document.querySelector() を使う必要がありますが、ブラウザのコンソールから $0 を使うと要素で直前に選択したノードを使用することができます。