Stage3Dが現れる前(FlashPlayer10以前)はFlashの透過は割と簡単だったのですが、Stage3Dのせいでややこしくなったようです。
Stage3DってのはFlashで(まあまあ)本格3Dを扱うための機能なので、結構重要です。

Flash(Not Stage3D) + HTML

HTML上で以下のオプションを設定

wmode="transparent"

Flash(Not Stage3D)+NativeWindow

AIRのアプリケーション記述XMLのinitialWindowの項目に以下の設定を追加します。

<systemChrome>none</systemChrome> 
<transparent>true</transparent>

Flash(Stage3D) + HTML

できないような気がします。
wmodeにtransparentとdirectの両方を設定したいのですが、それが無理なので。。。

Flash(Stage3D)+NativeWindow

ここからが本題です。
AIRのアプリケーション記述XMLのinitialWindowに以下の設定を追加します。

<systemChrome>none</systemChrome> 
<transparent>true</transparent> 
<renderMode>direct</renderMode>

ただしこのままだと透明色でクリアしたとしても背景が残ります。

context3D.clear(1, 0, 1, 0);//アルファ0なのに表示されちゃう!

画像の紫の部分が透明になって欲しい部分です。

つまり3D描画は背景のみ透明で表示とかできないっぽいです。
というわけで考えたのがFlashの昔ながらのSpriteに3Dを転写して表示する方法です。

Context3DのdrawToBitmapDataというメソッドを使うと、Bitmapクラスに描画することができるのでそれを使います。
BitmapクラスならいつものようにStageにaddChildで追加して表示できます。

1.Windowの大きさのBitmapクラスをaddChildします。

var bitmap:Bitmap = new Bitmap(new BitmapData(stage.stageWidth, stage.stageHeight, true));
addChild(bitmap);

2.Stage3Dを不可視にします。

初期化とかは通常通りでいいと思います。
描画前にvisibleをfalseにします。

stage3D.visible = false;

3.画面を0でクリアします

context3D.clear(0, 0, 0, 0)

4.Bitmapに3Dを描画します。

context3D.drawToBitmapData(bitmap.bitmapData);

これで完了です。

一番苦労したのは3番です。
r:0、g:0、b:0、a:0だと描画されないのですが(つまり黒にはならない)、r:1、g:0、b:0、a:0とかにすると赤色になってしまうのです。(アルファ0なのに!)
ちょっと仕様として信用してよいのか微妙ですが、とりあえずこれでWin7,8、Macでは背景透明に出来ました!

サンプルは下記URLとかで手に入るらしいですよ(ステマ)
Live2D SDK マニュアル「Flashでデスクトップマスコットを作ろう」
https://sites.google.com/a/cybernoids.jp/cubism2/simple-app/desctopmascot