多次元球の体積とモンテカルロ法

Posted at 2025-12-31

はじめに

多次元球の体積の一般式を求めるのは難しい。理由としては、重積分やガンマ関数等を用いる必要性があるからだ。さらに、4次元以上ともなるとそもそも描写することすらできない。
そこで、今回は多次元球の体積をモンテカルロ法を用いて推定してみる。

具体的には、ある球に、外接する立方体内に点を打っていく。
そのとき、球内部の領域にある点の数を数えることで球の体積を推定する。

以下、3次元の時のイメージである。

問題設定

$-R\le x_1,x_2\cdot \cdot \cdot x_{N-1},x_N\le R$とすると、$N$次元球の領域は以下のように与えられる。ただし$R$は半径とする。

x_1^2+x_2^2+\cdot\cdot\cdot+x_{N-1}^2+x_{N}^2\le R^2

つまり、


\sum_{k=1}^{N}{x_{k}^2}\le R^2

3次元の場合

例として、3次元の場合を扱う。

プログラム

python sphire_S_3d.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
import math
import random

# figureを生成
fig = plt.figure()
# axをfigureに設定
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection='3d')
 
n=1000
R=1


num_sphere=0
num_not_sphere=0

V_MCM_ary=[]

for i in range(n):

    xx= random.uniform(-R, R)
    yy= random.uniform(-R, R)
    zz= random.uniform(-R, R)
    if xx**2 + yy**2 + zz**2 <= R**2:   
        ax.scatter(xx, yy, zz, color="red")
        num_sphere += 1
    else:
        ax.scatter(xx, yy, zz, color="blue")
        num_not_sphere += 1
        
    V_MCM_ary.append((num_sphere/(num_sphere+num_not_sphere))*(2*R)**3)

plt.savefig("球体へのモンテカルロ法による体積近似.png")
plt.show()

plt.plot(range(n), V_MCM_ary,label="体積の近似値")
plt.axhline(y=(4/3)*math.pi*R**3, color='r', linestyle='--', label="真の体積")
plt.legend()
plt.xlabel("試行回数")
plt.ylabel("体積の近似値")
plt.savefig("球体へのモンテカルロ法による体積近似の推移.png")
plt.show()

このプログラムを実行すると、以下のようになった。

結果

図示

赤い点が球の内部にあるもので、青い点が外部にある点である。

推移

試行回数を増やすにつれて、推定値が真の値に近づいていることがわかる。

ただし、疑似乱数の精度上ある程度で頭打ちになる。

多次元の場合

体積公式

$N$次元球の体積公式は以下のようになる。

V_{N}=\frac{\pi^{\frac{N}{2}}}{\Gamma(\frac{N}{2}+1)}

したがって、プログラムは以下のようになる。

プログラム

python sphere_S_Nd.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
import math
import random


#モンテカルロ法の試行回数（点の数）
n=1000
#球の半径
R=1
#次元数
N=6

xx_ary=np.zeros(N)

#モンテカルロ法による体積近似(num次元球体)
num_sphere=0
num_not_sphere=0

V_MCM_ary=[]

for i in range(n):
    
    for k in range(N):
        xx_ary[k]= random.uniform(-R, R)
    if np.sum(xx_ary**2) <= R**2:
        num_sphere += 1
    else:
        num_not_sphere += 1
    V_MCM_ary.append((num_sphere/(num_sphere+num_not_sphere))*(2*R)**N)

# num次元球体の真の体積の計算
V_n= (np.pi**(N/2))/(math.gamma(N/2 + 1)) * R**N

plt.plot(range(n), V_MCM_ary,label="体積の近似値")
plt.axhline(y=V_n, color='r', linestyle='--', label="真の体積")
plt.legend()
plt.xlabel("試行回数")
plt.ylabel("体積の近似値")
plt.title(f"{N}次元球体へのモンテカルロ法による体積近似")
plt.savefig(f"{N}次元球体へのモンテカルロ法による体積近似の推移.png")
plt.show()