正接の微分公式と数値計算について

はじめに

正接の微分の公式は、正弦や余弦の微分の公式と比較してマイナーである。しかし、正接の微分公式は、置換積分などで活躍する。
そこで、今回は、正接の微分の公式を、正接の加法定理から導出する。
その後、数値計算で、その結果が妥当か評価する。

正接の加法定理

実数$x,y$に対して以下の式が成立する。

\tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}

ここで、$|h|<<1$であるとき、

\tan{h}=h

とみなせる。したがって、

\tan(x+h)=\frac{\tan x+h}{1-h\tan x }

分母を払って整理すると、以下のようになる。

\tan(x+h)-\tan x =h\{1+\tan(x+h)+\tan x \}

ゆえに、

\frac{\tan(x+h)-\tan x}{h} =1+\tan(x+h)\tan x\to 1+\tan^2{x}=\frac{1}{\cos^2 x}

プログラム

以下のようなプログラムを作成した。ただし、$x=\frac{\pi}{2}$では、正接を定義することができないことに注意する。

python tan_near.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
import math


# --- パラメータ設定 ---
x = 0.99/2 * math.pi   # 積分範囲: 0 〜 2π（cos の1周期分）
n = 100         # 分割数（ステップ数）
h = x / n          # ステップ幅 Δx

tan_x=0
tan_x_ary=[]

# --- オイラー法による数値積分ループ ---
for i in range(n):
    tan_x=(tan_x+h)/(1-tan_x*h)  # tan(x+h) = (tan(x)+tan(h)) / (1-tan(x)*tan(h))
    tan_x_ary.append(tan_x)
    
# --- グラフ描画 ---
theta=np.linspace(0,x,n)
plt.plot(theta,tan_x_ary,label="tan_near(theta)")
plt.plot(theta,np.tan(theta),label="tan(theta)")
plt.xlabel("theta[rad]")
plt.ylabel("tan(theta)の近似値と真値")
plt.legend()
plt.title("tan(theta)の近似値と真値の比較")
plt.savefig("tan(theta)の近似値と真値の比較.png")
plt.show()

まとめ

今回は、正接の微分の公式を導出した。具体的には、微小区間での近似を行った。
その後、数値計算で、正接関数の近似グラフを描写した。近似精度としては、ほぼ正接関数そのものであった。

参考文献