1. はじめに
微分積分は抽象的な概念を扱うため、学習者が困難を感じやすい分野である。その主な要因として、以下の2点が挙げられる。
- 概念の抽象性：「関数の傾き」や「面積と微分が逆演算の関係にある」といった事実は、初見では直感的に把握しにくい
- 公式の多様性：覚えるべき公式が多岐にわたり、体系的に整理されていなければ混乱を招きやすい
本稿では、高校の微分積分をひと通り学んだ理系受験生を対象として、重要公式を定義から証明まで含めた形で体系的に整理することを目的とする。各公式が成立する根拠を意識することで、単純な暗記に頼らない理解が期待できる。
2. 微分編
2.1 定義
関数 $f(x)$ の微分（導関数）は次のように定義される。
$$
f'(x) = \frac{df(x)}{dx} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$
これが本稿で扱うすべての公式の出発点である。幾何学的には曲線の接線の傾きを、物理的には瞬間の変化率を意味する。
なお、上記と同値な表現として次の形も用いられる。
$$
f'(x) = \lim_{x_1 \to x} \frac{f(x_1) - f(x)}{x_1 - x}
$$
2.2 線形性（和・差・定数倍）
2.2.1 和・差の公式
$$
\frac{d}{dx}\bigl(f_1(x) \pm f_2(x)\bigr) = f_1'(x) \pm f_2'(x)
$$
証明（和の場合）
$$
\frac{d}{dx}(f_1 + f_2) = \lim_{h \to 0} \frac{{f_1(x+h) + f_2(x+h)} - {f_1(x) + f_2(x)}}{h}
= \lim_{h \to 0} \left(\frac{f_1(x+h) - f_1(x)}{h} + \frac{f_2(x+h) - f_2(x)}{h}\right)
= f_1'(x) + f_2'(x)
$$
本証明のポイントは、微小量 $h$ を $f_1$, $f_2$ に対して共通にとれる点にある。差についても同様に示される。
2.2.2 定数倍の公式
$$
\frac{d}{dx}\bigl(kf(x)\bigr) = kf'(x)
$$
証明
$$
\frac{d}{dx}(kf) = \lim_{h \to 0} \frac{kf(x+h) - kf(x)}{h} = k \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = kf'(x)
$$
和・差・定数倍がそれぞれ微分演算の外側に取り出せる性質を線形性という。微分は線形演算であり、その逆演算である積分においても線形性が成立する。
2.3 積の公式
$$
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)g(x)\bigr) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
$$
和・差と異なり、積の微分は単純な分離が不可能であり、上記のような複合的な形となる。
証明
$$
\frac{d}{dx}(fg) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}
$$
分子を $g(x+h)(f(x+h)-f(x)) + f(x)(g(x+h)-g(x))$ と変形すると、
$$
= \lim_{h \to 0} \left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot g(x+h) + f(x) \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)
= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
$$
ただし $\lim_{h \to 0} g(x+h) = g(x)$ を用いた。
本公式は、積分編で述べる部分積分の公式と表裏一体の関係にある。
2.4 商の公式
$$
\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{{g(x)}^2}
$$
証明
$$
\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right)
= \lim_{h \to 0} \frac{\dfrac{f(x+h)}{g(x+h)} - \dfrac{f(x)}{g(x)}}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{g(x)f(x+h) - f(x)g(x+h)}{h \cdot g(x+h)g(x)}
$$
分子を $g(x)(f(x+h)-f(x)) - f(x)(g(x+h)-g(x))$ と変形すると、
$$
= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{{g(x)}^2}
$$
積・商の証明に共通する方針は、目標の形から逆算して分子をくくり直すことである。
2.5 合成関数の微分（連鎖律）
$y = y(x)$、$x = x(t)$ のとき、次式が成立する。
$$
\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}
$$
証明
$x_1 = x(t_1)$ とおくと、
$$
\frac{dy}{dt} = \lim_{t_1 \to t} \frac{y(x(t_1)) - y(x(t))}{t_1 - t}
= \lim_{t_1 \to t} \left(\frac{y(x_1) - y(x)}{x_1 - x} \cdot \frac{x_1 - x}{t_1 - t}\right)
= \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}
$$
Leibniz 記法においては分数の積の形に見えるため、直感的に把握しやすい公式である。
2.6 具体的な関数の微分
2.6.1 べき関数
$$
\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}
$$
証明（二項定理を利用）
$$
\frac{d}{dx}x^n = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} h^k}{h}
= \lim_{h \to 0} \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} h^{k-1}
= nx^{n-1}
$$
$k \geq 2$ の項は $h \to 0$ の極限で消滅するため、$k=1$ の項のみが残る。
2.6.2 指数関数
$$
\frac{d}{dx}e^x = e^x
$$
証明
自然対数の底 $e$ は $\displaystyle\lim_{h \to 0}(1+h)^{1/h} = e$ を満たす定数である。$e^h = \bigl((1+h)^{1/h}\bigr)^h$ と変形することにより、次の極限が得られる。
$$
\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1
$$
これを用いると、
$$
\frac{d}{dx}e^x = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = e^x
$$
底が任意の正の実数 $a$ である場合は、$a = e^{\ln a}$ と表し、合成関数の微分を適用することで次式が得られる。
$$
\frac{d}{dx}a^x = (\ln a),a^x
$$
2.6.3 対数関数
$$
\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}
$$
証明
$$
\frac{d}{dx}\ln x
= \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h) - \ln x}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\ln!\left(1 + \frac{h}{x}\right)
= \lim_{h \to 0} \ln!\left(1 + \frac{h}{x}\right)^{1/h}
= \lim_{h \to 0} \frac{1}{x}\ln!\left(1 + \frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}
= \frac{1}{x}\ln e
= \frac{1}{x}
$$
ここで $\displaystyle\lim_{h \to 0}!\left(1 + \frac{h}{x}\right)^{x/h} = e$ を用いた（$u = h/x$ と置換すると $e$ の定義に帰着する）。
2.6.4 三角関数
以下の証明では、加法定理と極限 $\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1$ を主に使用する。
正弦
$$
\frac{d}{dx}\sin x = \cos x
$$
証明
$$
\frac{d}{dx}\sin x = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x(\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}
= \cos x
$$
$\cos h - 1 = O(h^2)$ であるから第1項は消滅し、第2項が $\cos x$ に収束する。
余弦
$$
\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x
$$
証明
$$
\frac{d}{dx}\cos x = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h}
= -\sin x
$$
正接
$$
\frac{d}{dx}\tan x = \frac{1}{\cos^2 x}
$$
商の微分公式 $\dfrac{d}{dx}\dfrac{\sin x}{\cos x}$ を用いるのが最も簡潔であるが、以下では定義に従った証明を示す。
証明
$$
\frac{d}{dx}\tan x
= \lim_{h \to 0} \frac{\tan(x+h) - \tan x}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{\dfrac{\tan x + \tan h}{1 - \tan x \tan h} - \tan x}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{\tan h,(1 + \tan^2 x)}{h(1 - \tan x \tan h)}
= 1 + \tan^2 x
= \frac{1}{\cos^2 x}
$$
ここで $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\tan h}{h} = 1$、$\displaystyle\lim_{h\to 0}\tan x\tan h = 0$ を用い、最後に恒等式 $1 + \tan^2 x = \dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ を利用した。
3. 積分編
3.1 基本公式
積分は微分の逆演算として定義される。以下、$C$ は積分定数とする。
3.1.1 べき関数
$$
\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
$$
$$
\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C
$$
3.1.2 指数関数
$$
\int e^xdx = e^x + C
$$
3.1.3 三角関数
$$
\int \sin xdx = -\cos x + C
$$
$$
\int \cos xdx = \sin x + C
$$
いずれも右辺を微分すれば被積分関数に戻ることから確認される。
3.2 部分積分
$$
\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx
$$
証明
積の微分公式 $(fg)' = f'g + fg'$ の両辺を積分すると、
$$
f(x)g(x) = \int f'(x)g(x)dx + \int f(x)g'(x)dx
$$
整理すれば部分積分の公式が得られる。
部分積分は積の微分公式を積分形に書き直したものであり、両者は表裏一体の関係にある。
具体例：$\ln x$ の積分
$1 = (x)'$ とみなして部分積分を適用すると、
$$
\int \ln xdx = \int (x)' \ln xdx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}dx = x\ln x - x + C
$$
3.3 商の積分（対数型）
$$
\int \frac{f'(x)}{f(x)},dx = \ln|f(x)| + C
$$
証明
$\dfrac{d}{dx}\ln|f(x)| = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$ が成立することを確認すれば十分である。
具体例：$\tan x$ の積分
$$
\int \tan xdx = \int \frac{\sin x}{\cos x}dx = -\int \frac{(\cos x)'}{\cos x}dx = -\ln|\cos x| + C
$$
3.4 置換積分
$$
\int f(x)dx = \int f(x(t))\frac{dx}{dt},dt
$$
証明
$F'(x) = f(x)$ とする。合成関数の微分より $\dfrac{d}{dt}F(x(t)) = F'(x)\cdot\dfrac{dx}{dt}$ が成立し、両辺を $t$ で積分すると、
$$
F(x(t)) = \int f(x)\frac{dx}{dt},dt
$$
一方、$\displaystyle\int f(x)dx = F(x)$ であるから、両者が一致する。
具体例：$\ln x$ の積分（置換版）
$t = \ln x$（すなわち $x = e^t$）と置換すると $\dfrac{dx}{dt} = e^t$ であるから、
$$
\int \ln x,dx = \int t,e^t,dt
$$
部分積分を適用すると、
$$
\int t,e^t,dt = \int t,(e^t)'dt = te^t - \int e^tdt = te^t - e^t + C = e^t(t - 1) + C
$$
$t = \ln x$、$e^t = x$ に戻すと、
$$
= x(\ln x - 1) + C = x\ln x - x + C
$$
これは3.2節で部分積分により直接求めた結果と一致する。
4. まとめ
| カテゴリ | 公式 | 要点 |
|---|---|---|
| 微分の定義 | $f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ | すべての出発点 |
| 線形性 | $(kf \pm g)' = kf' \pm g'$ | 和・定数倍は外に取り出せる |
| 積の公式 | $(fg)' = f'g + fg'$ | 部分積分と対応 |
| 商の公式 | $(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$ | 積＋合成関数から導出も可 |
| 合成関数 | $dy/dt = (dy/dx)(dx/dt)$ | 連鎖律 |
| 部分積分 | $\int fg' = fg - \int f'g$ | 積の微分公式の積分形 |
| 置換積分 | $\int f(x)dx = \int f(x(t))x'(t)dt$ | 合成関数の微分の積分形 |
微分においては、積・商・合成関数の3つの演算規則を習得したうえで、個々の関数（べき・指数・対数・三角）の公式を覚えることが基本方針となる。積分はその逆演算であることを踏まえれば、部分積分・置換積分の公式も体系的に理解することができる。