はじめに

電流が流れている導体棒に対して、垂直な方向に一様な磁場をかけると、導体棒は電磁力によって運動をする。もし、導体棒のレールに電池を接続していた場合、ある速度で落ち着き、その後は等速直線運動をする。
そこで、そのような電流が流れている導体棒の運動の様子について調査する。
具体的には、運動方程式と電圧の関係式（キルヒホッフの法則）を立てる。
その後、それらを連立させて解く。最後に、計算機を用いて運動の様子を図示する。

問題設定

以下のような問題設定で考える。

ただし、電池の電圧は$E$とし、抵抗は$R$とする。
また、導体棒の長さ、質量は$l,m$とし、上から下方向に、磁束密度$B$の磁場が生じているものとする。

理論解析

運動方程式

導体棒の加速度を$a$とした場合、運動方程式は以下のように表すことができる。

ma=f

したがって、

a=\frac{f}{m}=\frac{iBl}{m}

キルヒホッフの法則

一方で、キルヒホッフの法則より、

E=Ri+vBl

となる。したがって$i$は、

i=\frac{E-vBl}{R}

となるので、運動方程式より、

a=\frac{iBl}{m}=\frac{Bl}{mR}(E-vBl)

つまり、


a=-\frac{B^2 l^2}{mR}(v-\frac{E}{Bl})

となる。

ここで、$a=0$となるときがいわゆる終端速度である。

v_{\infty}=\frac{E}{Bl}

話を元に戻す。

v=Ae^{-\frac{B^2 l^2}{mR} t}+\frac{E}{Bl}

が上記の微分方程式の解となる。

ただし、自然対数の底を$\epsilon$とした。

初期条件は$v_0=0$なので、

v=\frac{E}{Bl}(1-\epsilon^{-\frac{B^2 l^2}{mR} t})

となる。

したがって、変位$x$は以下のように表すことができる。

x=\int^{t}_{0}vdt=\frac{E}{Bl}(t+\frac{mR}{B^2l^2}\epsilon^{-\frac{B^2 l^2}{mR} t})

ところで、電流$i$は以下のように表せる。

i=\frac{E-vBl}{R}=\frac{E}{R} \epsilon^{-\frac{B^2 l^2}{mR}t}

また、


e=E(1-\epsilon^{-\frac{B^2 l^2}{mR} t})

仕事の収支

参考までに、仕事の収支が成立していることを確かめる。

電池の仕事

まず電池のする仕事$W_e$は以下のように与えられる。

W_e=Ei=\frac{E^2}{R} \epsilon^{-\frac{B^2 l^2}{mR}t}

導体棒のする仕事

次に、導体棒のする仕事は、以下のように与えられる。

W=f v=(iBl)v= \frac{E^2}{R} \epsilon^{-\frac{B^2 l^2}{mR}t} (1-\epsilon^{-\frac{B^2 l^2}{mR} t})

もしくは、


W=ei=\frac{E^2}{R}(e^{-\frac{B^2 l^2}{mR} t}-e^{-\frac{2B^2 l^2}{mR} t})

抵抗のする仕事

抵抗のする仕事は、以下のように与えられる。


W_r=i^2 R=

\frac{E^2}{R} \epsilon^{-\frac{2B^2 l^2}{mR}t}

したがって、


W_e=W+W_r

という仕事の収支が成立しているのが分かる。

プログラム

上記の考察より、以下のようなプログラムを作成した。

python line_e.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
import math

# パラメータ設定
# B: 磁束密度[T], l: 導体棒の長さ[m], E: 電源起電力[V], m: 導体棒の質量[kg], R: 抵抗[Ω]
B, l, E, m, R = 2, 2, 1, 1, 1


def line(v):
    """速度 v から加速度・電流・誘導起電力を返す"""
    e = v * B * l          # 誘導起電力 ε = vBl
    i = (E - e) / R        # 回路電流 i = (E - ε) / R
    a = B * l * i / m      # ローレンツ力による加速度 a = BIl / m
    return a, i, e


# 初期値
t = 0
dt = 0.001
x = 0
v = 0

# 記録用配列
a_ary = []
i_ary = []
e_ary = []
v_ary = []
x_ary = []

W_ary   = []   # 電磁力の仕事率 [W]
W_e_ary = []   # 電源の供給電力 [W]
W_r_ary = []   # 抵抗の消費電力 [W]

t_ary = []

# オイラー法で時間発展
while t < 0.5:
    v_ary.append(v)
    x_ary.append(x)
    a, i, e = line(v)

    W_e = E * i        # 電源供給電力 P_E = Ei
    W_r = R * i ** 2   # 抵抗消費電力 P_R = RI²
    f   = i * B * l    # 導体棒に働くローレンツ力 F = BIl
    W   = f * v        # 電磁力の仕事率 P = Fv

    t_ary.append(t)
    a_ary.append(a)
    i_ary.append(i)
    e_ary.append(e)
    W_ary.append(W)
    W_e_ary.append(W_e)
    W_r_ary.append(W_r)

    v += a * dt
    x += v * dt
    t += dt

# --- グラフ描画 ---

plt.plot(t_ary, v_ary)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("v")
plt.savefig("導体棒の速度.png")
plt.show()

plt.plot(t_ary, x_ary)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("x")
plt.savefig("導体棒の位置.png")
plt.show()

plt.plot(t_ary, W_ary,   label="電磁力の仕事率")
plt.plot(t_ary, W_e_ary, label="電源供給電力")
plt.plot(t_ary, W_r_ary, label="抵抗消費電力")
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("仕事率 [W]")
plt.legend()
plt.savefig("仕事の時間収支.png")
plt.show()

結果

速度

速度に関しては、一次遅れのような、応答を示した。
これは
空気抵抗がある物体の落下速度と同等である。

位置

位置については、最初は加速度が大きかった。しかし、時間経過とともに、等速直線運動に変化していった。

仕事

最後に仕事の収支について考察する。

電池（直流電源）が供給する仕事は、抵抗の消費電力と導体棒の加速分の仕事に変換されている。

まとめ

今回は、高校物理の電磁気分野で頻出のレール上の導体棒の速度の問題を扱った。
この問題は、力学と電磁気学の両方の実力が無いと解けないため、受験生の登竜門として設定しやすい。したがって、これを機に受験生は、運動方程式やキルヒホッフの法則の立て方から、仕事の収支まで理解してほしい。