目標

カスタム投稿タイプの一覧画面に検索機能を追加する
投稿タイプを news とした場合のサンプル

アーカイブページに検索フォームを設置する

<form name="search" method="get">
    <input type="text" name="text" value="<?= esc_attr(get_query_var('text')) ?>" >
</form>

独自のクエリーストリングを許可する

この設定をすることで、 $wp->query_string に含まれたり、 get_query_var('text') で取得できる。
※ WordPressがデフォルトで用意してあるものがあるので、重複しないように注意。
　https://wpdocs.osdn.jp/WordPress_Query_Vars

function my_query_vars($vars)
{
	$vars[] = 'text';

	return $vars;
}

add_filter('query_vars', 'my_query_vars');

メインクエリをフックする

function my_pre_get_posts($query)
{
	if (is_admin() || ! $query->is_main_query()) {
		return;
	}
	if ($query->is_post_type_archive('news')) {
		/** @var WP $wp */
		global $wp;

		$params = [];
		parse_str($wp->query_string, $params);

		if (isset($params['text'])) {
			$query->set('s', $params['text']);
		}

		// 以下は本題とは違うが、1ページあたりの件数と、表示順もここで設定できるので
		// 一覧画面で表示件数を動的に変更したり、並び順を動的に変更することが可能
		$query->set('posts_per_page', 12);
		$query->set('orderby', ['post_date' => 'DESC']);
	}
}

add_action('pre_get_posts', 'my_pre_get_posts');