QR分解による対角化の可視化

の続き。

ハウスホルダー変換によって三重対角化された後、最後にQR分解で得られた行列Qで再び相似変換することで対角化するところを可視化した。

plotA2 <- function(A, step){
  image.plot(log10(A[, ncol(A):1]+1),
    main=paste0("k = ", step),
    xaxt="n", yaxt = "n")
}

QR <- function(A, viz=FALSE, viz.dir="", num.step=100){
  if(viz){
    if(viz.dir==""){
      plotA2(A, 0)
      Sys.sleep(0.2)
    }else{
      png(file=paste0(viz.dir, "/Step0000.png"))
      plotA2(A, 0)
      dev.off()
    }
  }
  step <- 1
  while(step <= num.step){
    Q <- qr.Q(qr(A))
    A <- t(Q) %*% A %*% Q
    if(viz){
      if(viz.dir==""){
        plotA2(A, step)
        Sys.sleep(0.2)
      }else{
        png(file=paste0(viz.dir, "/Step",
          str_sub(paste0("000", step), start = -4),
          ".png"))
        plotA2(A, step)
        dev.off()
      }
    }
    step <- step + 1
  }
  list(U=U, Sigma=A)
}

# 30×30行列で実験
dir.create("QR", showWarnings=FALSE)
out2 <- QR(out$Sigma, viz=TRUE, viz.dir="QR")

確かに、Qが左右にかかることで、少しずつ三重対角行列が、対角行列になっていることがわかる。

試しに適当に作った対称行列で、ハウスホルダー変換を経ずにいきなりQR分解による対角化を適用してみた。

# 30×30行列で実験
dir.create("QR2", showWarnings=FALSE)
A <- matrix(runif(30*30), nrow=30, ncol=30)
A <- t(A) %*% A # 対称行列にする
out3 <- QR(A, viz=TRUE, viz.dir="QR2")

これでも対角化はできる模様。
互いに直交する基底を取り出すだけのQR分解がなぜ固有値分解（対角化）にもなるのかはよく知らない。