命題
$\textbf{Set}$ は完備である。
定義
完備
圏 $\textbf{C}$ が完備であるとは、任意の小さい圏 $\textbf{J}$ に対して任意の図式
\mathcal{D}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{C}
が極限を持つことを言う。
小さい圏
圏 $\textbf{C}$ について $\textbf{Ob(C)}$ と $\textbf{Hom(C)}$ がともに集合である時、 $\textbf{C}$ を小さい圏と言う。
$\textbf{Set}$ は小さい圏ではない。
自然数を対象とし、順序を射とすると圏になるが、これは小さい圏である。
証明
小さい圏 $\textbf{J}$ を一つ任意に取る。極限の存在定理 より、次の3つの存在が言えれば、完備であることが証明できる
- $\textbf{Ob(J)}$ で添字付けられられた積
- $\textbf{Hom(J)}$ で添字付けられた積
- 任意の平行射
はじめの2つは、任意の集合族 $\Lambda$ について直積 $\prod_{\lambda \in \Lambda} \lambda$ が定義でき、これが集合であることが言えれば良い。
任意の集合族の直積
ZFC 公理系を仮定することで直積の存在が証明できるが、厳密にやろうとするとかなり時間がかかるので、手短に、少しだけ丁寧に書いてみたい。
2 つの集合の直積
まず 2 つの集合 $A, B$ の直積 $\prod \{A, B\} = A \times B$ について考える。
和集合の公理から $\bigcup \{A, B\} = A \cup B$ が定義でき、冪集合公理 によって冪集合や冪集合の冪集合
\begin{eqnarray}
&\mathcal{P}(A \cup B)\\
&\mathcal{P}\bigl(\mathcal{P}(A \cup B)\bigr)\\
\end{eqnarray}
が定義できる。
また、対の公理 によって $a \in A$ と $b \in B$ に対し対
\{a, b\} \in \mathcal{P}(A \cup B)
や、順序対
(a, b) = \bigl\{\{a\}, \{a, b\}\bigr\} \in \mathcal{P}\bigl(\mathcal{P}(A \cup B)\bigr)
が定義できる。直積 $A \times B$ は順序対の集まり
A \times B = \bigl\{(a, b) \in \mathcal{P}\bigl(\mathcal{P}(A \cup B)\bigr) \mid a \in A, b \in B \bigr\}
として定義され、これは 分出公理 によって集合であることが保証される。
写像集合
写像 $f: A \rightarrow B$ を次の集合と同一視する：
\left\{\bigl(a, f(a)\bigr) \, \middle | \, a \in A \right\}
この同一視によって、 $f \in \mathcal{P}(A \times B)$ が言えるので、その全体
\textrm{Map}(A, B) = \{f: A \rightarrow B\}
は分出公理によって集合であることが保証される。
無限直積
$\Lambda$ を（有限とは限らない）任意の集合族とする。和集合の公理によって和集合
A = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \lambda
の存在が保証される。
$\Lambda$ から $A$ への写像の全体 $\textrm{Map}(\Lambda, A)$ はこれも集合であるから、直積 $\prod_{\lambda \in \Lambda} \lambda$ を その部分集合
\prod_{\lambda \in \Lambda} \lambda = \{f: \Lambda \rightarrow A \mid \forall \lambda, f(\lambda) \in \lambda \subset A \}
で定義すると、これまた分出公理によって集合であることがわかる。
余談だが、
\emptyset \in \Lambda \Longleftrightarrow \prod_{\lambda \in \Lambda} \lambda = \emptyset
である。 $\Rightarrow$ は 空集合の公理 より $f(\emptyset) \in \emptyset$ を満たす $f$ が無いことから、 $\Leftarrow$ は選択公理 から証明できる。
平行射
$A, B$ を集合とし、$f, g: A \rightrightarrows B$ を $A$ から $B$ への平行射とする。これに対しイコライザ $\bigl(\textrm{eq}(f, g), \phi\bigr)$ が次のように定義できる。
\textrm{eq}(f, g) = \{a \in A \mid f(a) = g(a) \}\\
\begin{eqnarray}
\phi_A: & \textrm{eq}(f, g) & \rightarrow & A\\
& a & \mapsto & a\\
\phi_B: & \textrm{eq}(f, g) & \rightarrow & B\\
& a & \mapsto & f(a) = g(a)
\end{eqnarray}
これが平行射の極限になっていることを示すには、
- 組 $(\textrm{eq}(f, g), \phi)$ が図式 $A \rightrightarrows B$ の錐になっていること
- 他の錐 $(N, \psi)$ に対し $u: N \rightarrow \textrm{eq}(f, g)$ が唯一つ存在して、 $\phi_A \circ u = \psi_A, \phi_B \circ u = \psi_B$ を満たすこと
- この射を普遍射と呼ぶ。
を示せば良い。
錐になっていること
定義から明らかに
\phi_B = f \circ \phi_A\\
\phi_B = g \circ \phi_A
であるから、$(\textrm{eq}(f, g), \phi)$ は錐である。
他の錐からの普遍射が存在すること
$(N, \psi)$ を平行射の錐とする。つまり、次が成り立つ：
f \circ \psi_A = \psi_B = g \circ \psi_A
すると、 $\forall x \in N$ について、$a = \psi_A(x) \in A$ は、
f(a) = f\bigl(\psi_A(x)\bigr) = \bigl(f \circ \psi_A\bigr)(x) = \bigl(g \circ \psi_A\bigr)(x) = g\bigl(\psi_A(x)\bigr) = g(a)
であるから、 $a \in \textrm{eq}(f, g)$ である。そこで、$u: N \rightarrow \textrm{eq}(f, g)$ を
\begin{eqnarray}
u: & N & \rightarrow & \textrm{eq}(f, g)\\
& x & \mapsto & \psi_A(x)
\end{eqnarray}
と定義すれば、$\forall x \in N$ について、
\bigl(\phi_A \circ u \bigr)(x) = \phi_A \bigl(u(x) \bigr) = u(x) = \psi_A(x)\\
\phi_B \circ u = (f \circ \phi_A) \circ u = f \circ (\phi_A \circ u) = f \circ (\psi_A) = \psi_B
最後に、$u$ が一意であることを見る。$v: N \rightarrow \textrm{eq}(f, g)$ が
\phi_A \circ v = \psi_A\\
\phi_B \circ v = \psi_B
を満たすとする。$\forall x \in N$ について、 $v(x) \in \textrm{eq}(f, g) \subset A$ だから、
v(x) = \phi_A\bigl(v(x)\bigr) = \bigl(\phi_A \circ v\bigr)(x) = \psi_A(x) = \bigl(\phi_A \circ u\bigr)(x) = u(x)
より $v = u$ である。
以上により u が普遍射であることが示された。したがって $\bigl(\textrm{eq}(f, g), \phi\bigr)$ は平行射の極限である。
以上により、 $\textbf{Set}$ が完備であることが示された。