命題
添字圏 $\textbf{J}$ を一つ固定する。圏 $\textbf{C}$ について、次の2点を仮定する：
(1) $\textbf{C}$ は $\textbf{Ob(J)}$ と $\textbf{Hom(J)}$ で添字付けられた全ての積を持つ。
(2) $\textbf{C}$ の任意の平行射は極限を持つ。
このとき、 $\textbf{C}$ は $\textbf{J}$ の形の任意の極限を持つ。
定義
図式、添字圏
$\textbf{J}$ の形の $\textbf{C}$ の 図式 とは、関手 $\mathcal{D}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{C}$ のことである。
このとき $\textbf{J}$ は 添字圏 と呼ぶ。
錐
$\mathcal{D}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{C}$ を図式とする。$\mathcal{D}$ への 錐 とは、$\textbf{C}$ の対象 $N$ と$\textbf{J}$ の対象 $i$ で添字付けられた射の族 $\psi_i: N \rightarrow \mathcal{D}i$ の組 $(N, \psi)$であって、$\forall f:i \rightarrow j \in \textbf{Hom(J)}$ について $\mathcal{D}f \circ \psi_i = \psi_j$ を満たすものを言う。
極限、仲介射
図式 $\mathcal{D}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{C}$ の 極限 とは、$\mathcal{D}$ への錐$(L, \varphi)$ であって、任意の$\mathcal{D}$ への錐 $(N, \psi)$ について、$\exists u: N \rightarrow L$ が唯一つ定まり、$\forall i \in \textbf{Ob(J)}, \varphi_i \circ u = \psi_i$ を満たすものを言う。
この $u$ を 仲介射 と言う。
積
添字圏が離散圏の図式の極限を 積 と言う。
\bullet \qquad \bullet
イコライザ
添字圏が次の図で表されるような図式の極限を イコライザ と言う。
\bullet \rightrightarrows \bullet
C が J の形の極限を持つ
形が $\textbf{J}$ の任意の図式の極限が $\textbf{C}$ 上に存在するとき、$\textbf{C}$ は $\textbf{J}$ の形の極限を持つ と言う。
証明
概要
図式 $\mathcal{D}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{C}$ を任意に取り、これを元に平行射を構成する（仮定(1) を使用している）。
仮定(2) より、平行射には極限（イコライザ）が存在する。これを $(L, \varphi)$ で表す
$(L, \varphi)$ が、 $\mathcal{D}$ 自体の極限にもなっていることを示す。
平行射の構成
ドメイン、コドメイン
図式 $\mathcal{D}: \textbf{J} \rightarrow \textbf{C}$ に対し、$\textbf{C}$ の対象 $A, B$ を次のように定義する：
\begin{eqnarray}
A & = & \prod_{i \in \textbf{Ob(J)}} \mathcal{D}i\\
B & = & \prod_{f \in \textbf{Hom(J)}} \mathcal{D}\bigl(\textrm{cod}(f)\bigr)
\end{eqnarray}
$A$ は、$\textbf{Ob(J)}$ によって添字付けられた対象全ての積である。仮定(1) により、この積対象が存在することが保証されている。
$B$ は、$\textbf{Hom(J)}$ によって添字付けられた射のコドメイン全ての積である。コドメインは複数の射で共有していることはあり得て、$B = \mathcal{D}i \times \mathcal{D}i \times \mathcal{D}j \times \dots$ ということはあり得る。こちらも仮定(1) により存在が保証されている。
また、積の順序は重要でないことは自明ではないが証明なしに使っている。
以下、$i \in \textbf{Ob(J)}$ に対し $\pi_i$ で $A$ から $\mathcal{D}X$ への射影を、$f \in \textbf{Hom(J)}$ に対し $\pi_{f}$ で $B$ から $\mathcal{D}\bigl(\textrm{cod}(f)\bigr)$ への射影を表す。
平行射
さて、平行射 $s, t: A \rightarrow B$ を以下で定義する。
\begin{eqnarray}
s & = & \Bigl(\mathcal{D}f \circ \pi_{\textrm{dom}(f)}\Bigr)_{f \in \textbf{Hom(J)}}\\
t & = & \Bigl(\pi_{\textrm{cod}(f)}\Bigr)_{f \in \textbf{Hom(J)}}
\end{eqnarray}
平行射になっていることの確認
これが平行射であることを確認するには $\textrm{dom}(s) = \textrm{dom}(t) = A$ 及び $\textrm{cod}(s) = \textrm{cod}(t) = B$ を示せば良い。
$\forall f \in \textbf{Hom(J)}$ について、$\textrm{dom}(f), \textrm{cod}(f) \in \textbf{Ob(J)}$ より、
\begin{eqnarray}
\pi_{\textrm{dom}(f)} & : & A \rightarrow \mathcal{D}\bigl(\textrm{dom}(f)\bigr) \\
\pi_{\textrm{cod}(f)} & : & A \rightarrow \mathcal{D}\bigl(\textrm{cod}(f)\bigr) \\
\end{eqnarray}
が成り立つ。したがって、$\textrm{dom}(s) = \textrm{dom}(t) = A$ である。
また、
\begin{eqnarray}
\textrm{cod}(s) & = & \textrm{cod}\biggl(\Bigl(\mathcal{D}f \circ \pi_{\textrm{dom}(f)}\Bigr)_{f \in \textbf{Hom(J)}}\biggr)\\
& = & \prod_{f \in \textbf{Hom(J)}} \textrm{cod}\Bigl(\mathcal{D}f \circ \pi_{\textrm{dom}(f)}\Bigr)\\
& = & \prod_{f \in \textbf{Hom(J)}} \textrm{cod}\bigl(\mathcal{D}f\bigr)\\
& = & \prod_{f \in \textbf{Hom(J)}} \mathcal{D}\bigl(\textrm{cod}(f)\bigr)\\
& = & B \\
\textrm{cod}(t) & = & \textrm{cod}\biggl(\Bigl(\pi_{\textrm{cod}(f)}\Bigr)_{f \in \textbf{Hom(J)}}\biggr)\\
& = & \prod_{f \in \textbf{Hom(J)}} \textrm{cod}\big(\pi_{\textrm{cod}(f)}\big) \\
& = & \prod_{f \in \textbf{Hom(J)}} \mathcal{D}\bigl(\textrm{cod}(f)\bigr)\\
& = & B \\
\end{eqnarray}
以上により、$s, t$ が $A \rightarrow B$ の平行射であることが示された。
イコライザ (L, φ)
仮定(2) より、平行射 $s, t: A \rightarrow B$ に対して必ず極限が存在するので、これを $(L, \varphi)$ とする。これが、実は $\mathcal{D}$ への錐であり、さらには $\mathcal{D}$ 自体の極限でもあることを示す。
なお以下では平行射への錐 と $\mathcal{D}$ への錐 を同じ記号 $(L, \varphi)$ で表す。平行射への錐と見た時 $\varphi$ の添字は $\{A, B\}$ であり、$\mathcal{D}$ への錐と見た時その添字は $\textbf{Ob(J)}$ であることに注意されたい。
φ の添字の拡張
まず $\varphi$ の添字は現時点ではまだ $\{A, B\}$ しか無いことに注意。これを $\mathcal{D}$ への錐とするには、$\textbf{Ob(J)}$ の対象 $i$ に対して $\varphi_i$ を定義しなければならない。これは $\varphi_A$ を使って、
\varphi_i = \pi_{i} \circ \varphi_A
と定義できる。
D への錐であることの証明
$f: i \rightarrow j \in \textbf{Hom(J)}$ を任意に取る。
\begin{eqnarray}
\varphi_j & = & \pi_j \circ \varphi_A\\
& = & \pi_{\textrm{cod}(f)} \circ \varphi_A\\
& = & \biggl(\pi_{f} \circ \Bigl(\pi_{\textrm{cod}(f)}\Bigr)_{f \in \textbf{Hom(J)}} \biggr) \circ \varphi_A\\
& = & \bigl(\pi_{f} \circ t \bigr) \circ \varphi_A\\
& = & \pi_{f} \circ \bigl(t \circ \varphi_A \bigr)\\
& = & \pi_{f} \circ \bigl(s \circ \varphi_A \bigr)\\
& = & \bigl(\pi_{f} \circ s \bigr) \circ \varphi_A\\
& = & \biggl(\pi_{f} \circ \Bigl(\bigl(\mathcal{D}f \circ \pi_{\textrm{dom}(f)}\bigr)_{f \in \textbf{Hom(J)}}\Bigr) \biggr) \circ \varphi_A\\
& = & \bigl(\mathcal{D}f \circ \pi_{\textrm{dom}(f)}\bigr) \circ \varphi_A\\
& = & \mathcal{D}f \circ \bigl(\pi_{\textrm{dom}(f)} \circ \varphi_A\bigr)\\
& = & \mathcal{D}f \circ \bigl(\pi_{i} \circ \varphi_A\bigr)\\
& = & \mathcal{D}f \circ \varphi_i\\
\end{eqnarray}
以上により、$(L, \varphi)$ は $\mathcal{D}$ への錐である。
D の極限であることの証明
最後に、$(L, \varphi)$ が $\mathcal{D}$ の極限であることを示す。任意の $\mathcal{D}$ への錐 $(N, \psi)$ について、
\exists_1 u: N \rightarrow L, \forall i \in \textbf{Ob(J)}, \varphi_i \circ u = \psi_i
を示せば良い。
$(N, \psi)$ は（まだ）平行射の錐では無いことに注意。$(L, \varphi)$ とは逆に、添字を $\{A, B\}$ にまで拡張し、平行射への錐を構成する。
\psi_A = (\psi_i)_{i \in \textbf{Ob(J)}}
と定義する。 $s \circ \psi_A = t \circ \psi_A$ が示せれば、$(N, \psi)$ は平行射への錐である。$\forall f \in \textbf{Hom(J)}$ について、
\begin{eqnarray}
\bigl(\mathcal{D}f \circ \pi_{\textrm{dom}(f)}\bigr) \circ \psi_A & = & \bigl(\mathcal{D}f \circ \pi_{\textrm{dom}(f)}\bigr) \circ \bigl((\psi_i)_{i \in \textbf{Ob(J)}}\bigr) \\
& = & \mathcal{D}f \circ \Bigl(\pi_{\textrm{dom}(f)} \circ \bigl((\psi_i)_{i \in \textbf{Ob(J)}}\bigr)\Bigr) \\
& = & \mathcal{D}f \circ \Bigl(\pi_{i} \circ \bigl((\psi_i)_{i \in \textbf{Ob(J)}}\bigr)\Bigr) \\
& = & \mathcal{D}f \circ \psi_i \\
& = & \psi_j \\
\pi_{\textrm{cod}(f)} \circ \psi_A & = & \pi_{\textrm{cod}(f)} \circ \bigl((\psi_i)_{i \in \textbf{Ob(J)}}\bigr) \\
& = & \pi_{j} \circ \bigl((\psi_i)_{i \in \textbf{Ob(J)}}\bigr) \\
& = & \psi_j \\
\end{eqnarray}
$f$ は任意であったから、$s \circ \psi_A = t \circ \psi_A$ が言えた。
つまり、$(N, \psi)$ は 平行射への錐でもあるから、その極限 $(L, \varphi)$ への仲介射 $u$ が唯一つ定まり、
\begin{eqnarray}
\psi_A & = & \varphi_A \circ u\\
\psi_B & = & \varphi_B \circ u\\
\end{eqnarray}
を満たす。これが、立ち返って $\mathcal{D}$ への錐と見ても仲介射になっていることを示せば良い。$\forall i \in \textbf{Ob(J)}$ について、
\begin{eqnarray}
\psi_i & = & \pi_{i} \circ \psi_A\\
& = & \pi_{i} \circ \bigl(\varphi_A \circ u\bigr) \\
& = & \bigl(\pi_{i} \circ \varphi_A\bigr) \circ u \\
& = & \Bigl(\pi_{i} \circ \bigl((\varphi_i)_{i \in \textbf{Ob(J)}}\bigr)\Bigr) \circ u \\
& = & \phi_i \circ u \\
\end{eqnarray}
以上により、イコライザと積の存在を仮定すれば $\textbf{C}$ が $\textbf{J}$ の形の任意の極限を持つことが示された。