環境
下記の環境で確認しました。（/etc/os-releaseより抜粋）
NAME="Ubuntu"
VERSION="16.04.3 LTS (Xenial Xerus)"
apt? apt-get? apt-cache? aptitude?
すべてRedHat系OSでいうところのyumにあたるものです。
歴史的な理由により複数ありますが、安心して最新のaptを使いましょう。
apt は APT から提供されているもう一つのコマンドラインベースフロントエンドで、apt-get の持っていた設計上のミスを克服しています。
https://debian-handbook.info/browse/ja-JP/stable/sect.apt-get.html
※aptコマンドが使えない（インストールされていない/できない）方はこの記事の対象外となります。ごめんなさい。
dpkg
aptとdpkgの関係は、yumとrpmと同じようなものです。（普段使う分にはその認識で問題なし）
RedHat系OSにて、いつもはyumを使いつつ特定の用途でrpmを使うように、Debian系OSではaptを使いつつ特定の用途でdpkgを使います。
対応表
挙動が全く同じわけではなく、同じ用途で使える、という意味での対応表です。
| 内容 | yum | apt |
|---|---|---|
| インストール | yum install package | apt install package |
| アンインストール | yum remove package | apt remove package |
| パッケージをアップデート | yum update package | apt install --only-upgrade package |
| すべてアップデート | yum update | apt update apt upgrade |
| アップデート対象を調べる | yum check-update | apt update apt --show-upgraded upgrade |
| パッケージ検索 | yum search package | apt search package |
| パッケージの情報 | yum info package | apt show package |
| インストール済みの一覧 | rpm -qa | dpkg -l |
| ファイルが含まれるパッケージ | rpm -qf filename | dpkg -S filename |
| パッケージに含まれるファイル | rpm -ql package | dpkg -L package |
| ファイルを指定してインストール | rpm -i package | dpkg -i package |
※--show-upgradedは-uでもよい
補足：apt update(リポジトリの更新)について
Debian系のOSでは、パッケージの更新の前にapt updateでリポジトリを最新の状態に更新するのが作法。
yum clean allやyum makecacheと同等のコマンドだが、yumの場合は勝手に更新してくれている。(yum.confで設定可能)
最後に
対応表は、必要に応じて追加していきます。