【数論×物理】素数が作る3次元迷路──定数 c で到達性が57倍変化し、その実効閾値がFCC格子の臨界値と整合することを発見

本研究では、3次元格子 $\mathbb{Z}^3$ 上に素数を用いたパーコレーション（浸透）モデルを構築し、その到達性および臨界挙動を調査しました。その結果、定数シフト $c$ による到達限界の劇的な変化と、それを数論的指標から事前に予測する定量則、およびその閾値が結晶格子の物理定数と整合することを示しました。

手元で実際にパラメータを切り替えて動かせる3Dデモサイト、および公式論文（Zenodo）を公開しています。

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本研究の新規性

従来のパーコレーション理論では、各セルは互いに独立な確率で開閉すると仮定するのが一般的です。
しかし本研究では、「座標の距離の二乗（ノルム）が素数であるか」という純粋に数論的な条件のみでセルの開閉を決定します。

この数論的な制約により、モデルにおいて以下の現象が現れることを示しました：

定数 $c$ の変更による到達限界（迷路の寿命）の劇的な変化
実際に歩行をシミュレーションする前の、特異級数に基づく到達性の高精度な予測
実効的なパーコレーション閾値が、面心立方（FCC）格子の物理的臨界値と対応する事実の同定

1. 現象：定数 $c$ による到達限界の変化

3次元格子 $\mathbb{Z}^3$ の各格子点 $v = (x, y, z)$ について、以下のルールで「通行可能」か「通行不可」かを決定します。

$$|v|^2 + c = x^2 + y^2 + z^2 + c \quad \text{が「素数」のときのみ通行可能}$$

原点近傍から出発し、18近傍（面＋辺接続）の通路を辿って到達できる最大半径（モート半径 $rmax^*$）を測定します。
この定数 $c$ を変更するだけで、以下のように到達限界が劇的に変化します。

定数 $c$	到達半径 ($rmax^*$)	状態
19	6.9	袋小路に即座に閉じ込められる
0 (基準)	177.0	有限の境界（モート）で停止する
2	> 400.0	シミュレーション用の境界に到達し突破する

わずか定数1つの違いで、到達距離に57倍以上の開きが生じます。

2. なぜ素数の道は繋がるのか？（殻相関の存在）

このモデルの平均通行可能確率は約10%に過ぎません。従来のパーコレーション理論では、この低確率では道は即座に行き止まりになるはずです。
しかし、なぜ特定の $c$ において道が無限に繋がるのでしょうか。

その理由は、素数の幾何学的な分布が生む**「殻相関（Shell Correlation）」**にあります。

代数的に「ある整数 $n$ が素数である」と決まると、原点からの距離が $\sqrt{n}$ である球面上の格子点（最大で何十点もの座標）が同時にすべて通行可能になります。この「球面上での連動した開閉」という相関があるため、完全にランダムに道を開ける場合に比べて、道が接続しやすくなります。

実際に、球面の密度プロファイルを保ったままこの相関のみを破壊した帰無モデル（独立にサイトを開閉するモデル）では、到達距離は $67.0 \pm 4.7$ まで急低下し、接続の優位性が完全に失われることを示しました。

3. 特異級数質量による到達限界の予測

本研究では、実際に迷路を走査することなく、数論の公式から得られる「特異級数質量（$\widehat{mass}(c)$）」によって、到達半径の対数 $\ln V$ を高精度に予測できることを示しました。

$$\ln V = a + b \cdot mass$$

スキャンしていない22個の定数 $c=8..29$ でこの法則を検証したところ、順位相関係数 $\rho = 0.9656$（$p = 1.8 \times 10^{-13}$） という高い精度で、到達の順序を事前に予測できることを確認しました。

特に、定数 $c$ を3で割った余りに対応するモジュロ3因子 $\kappa_3$ を見るだけで、その定数の運命が「即死（余り1）」「有限で死亡（余り0）」「無限に浸透（余り2）」に分類されます。

4. FCC格子との対応

最新の進展（v20）により、観測されていた実効的な死亡閾値 $p_c^{eff} \approx 0.100$ の理論的説明が与えられました。

奇数台のすべての構成（素数ルールを含む）において、18近傍接続の代数的な性質から、歩行空間は幾何学的に面心立方（FCC）格子と同等になります。
これにより、自由パラメータを含まない数理物理の定数から、実効閾値が以下のように導かれます：

$$p_c^{eff} = p_c^{site}(fcc)/2 = 0.1992365(10)/2 = 0.0996182 \quad [Lorenz–Ziff \ 1998]$$

130個の未接触構成を用いた事前登録検証試験において、実測平均値 $0.10058 \pm 0.00063$ が得られ、この物理定数と高い精度で一致することを示しました。

5. 再現性への取り組み

本研究では、都合の良い統計解釈（p-hacking）を排除するため、新規データを生成する前にすべての解析手法と予測器を SHA256 ハッシュで凍結・公開する「事前登録（Preregistration）」プロセスを適用しています。今回の検証試験結果も、事前に登録された条件下で実行され、再現が保証されたものです。

結論と展望

本研究は、素数が作る幾何学的な連結性が、数論だけから予測可能であることを示しました。数論と統計物理を結ぶ新しい視点として、今後は他の二次形式や高次元格子への一般化を進める予定です。