こんにちは。
今回は、素数・数論とパーコレーション理論（浸透現象）が交わる、とても興味深い現象を紹介します。
この研究で分かったことは、たった一つです。
定数 (c) を1つ変えるだけで、素数が作る3次元迷路の到達距離が57倍以上変化する。
さらに驚くことに、その結果はシミュレーションを行わなくても、数論だけから高精度に予測できることが分かりました。
この記事で紹介する3Dモデルは、ブラウザ上で自由に回転・拡大縮小して体験できます。
👉 3Dインタラクティブデモ
https://ahokeijidaunko-cloud.github.io/prime-percolation-demo/
論文・再現データも公開しています。
👉 Zenodo
https://zenodo.org/records/21323540
まず結果を見る
定数 (c) を変えただけで、到達距離は次のように劇的に変化しました。
| c | 到達半径 | 結果 |
|---|---|---|
| 19 | 6.9 | 原点付近で袋小路になる |
| 0 | 177 | 巨大なモート（障壁）で停止 |
| 2 | 400以上 | 計算領域を突破してさらに広がる |
つまり、
「たった1つの定数」が迷路全体のつながり方を決めている
という非常に強い現象が観測されました。
この迷路はどう作るのか？
ルールは驚くほどシンプルです。
3次元格子の各点
v=(x,y,z)
について、
x^2+y^2+z^2+c
が素数なら、その点を「通れるセル」とします。
原点からスタートし、18近傍（面・辺で接するセル）だけを通って、どこまで進めるかを測定します。
つまり、
「素数だけを通れる3次元迷路」
を探索していることになります。
なぜ定数だけでここまで変わるのか？
普通のランダムなパーコレーションでは、
セルは独立に開いたり閉じたりします。
しかし、このモデルではそうなりません。
ある整数が素数になると、
その距離に対応する球面上の格子点が一斉に通行可能になります。
つまり、
球面単位でセルがまとまって開く
という強い相関が生まれます。
私はこの構造を
殻相関（Shell Correlation）
と呼んでいます。
この相関があるため、ランダムなモデルよりもずっと道がつながりやすくなります。
実際、この相関だけを壊した帰無モデルでは、平均到達距離は
67.0 ± 4.7
まで急激に低下しました。
シミュレーションをしなくても予測できる
本研究で最も面白かった点はここです。
Hardy–Littlewood の特異級数から計算される
特異級数質量
という算術的な指標を用いると、
探索を一切行わなくても
どの定数が遠くまで到達するか
を予測できます。
22個の未知の定数
c=8,\dots,29
で検証した結果、
順位相関係数
\rho=0.9656
（片側 (p=1.8\times10^{-13})）
という非常に高い一致を示しました。
つまり、
幾何学的なつながりが、数論だけから予測できる
ことになります。
さらに、mod 3 の局所因子を見るだけで大まかな傾向も分かります。
| c (mod 3) | 傾向 |
|---|---|
| 1 | 到達距離が最も短い |
| 0 | 中程度 |
| 2 | 最も長く到達しやすい |
再現性を重視したオープンサイエンス
解析では、
- 解析手法
- 評価指標
- 予測器
をデータ生成前にSHA256ハッシュで固定し、事前登録（Preregistration）を実施しました。
都合のよい解析だけを採用することを避けるため、
成功例だけでなく失敗した仮説や予測誤差も含めて公開しています。
研究全体を再現可能な形で公開していることも、このプロジェクトの特徴です。
ぜひ3Dで体験してください
文章だけでは、この幾何学的な構造はなかなか伝わりません。
デモサイトでは、
- c の切り替え
- 3Dグリッドの回転・拡大
- 到達成分の可視化
- 統計グラフ
をブラウザ上で自由に確認できます。
素数が作る幾何学的な構造を、ぜひ実際に動かして体験してみてください。
まとめ
この研究では、
- 定数 (c) を変えるだけで到達距離が57倍以上変化すること
- その変化は殻相関によって説明できること
- さらに数論から高精度に予測できること
を示しました。
数学（数論）と物理（パーコレーション理論）が交差する、とても興味深い現象です。
興味を持っていただけたら、ぜひデモサイトを動かしながら論文もご覧ください。
3Dデモ
https://ahokeijidaunko-cloud.github.io/prime-percolation-demo/
論文・再現データ（Zenodo）
https://zenodo.org/records/21323540