💡 2012問題の概要
-
運賃は1回210円。
-
ICカードには、3000円または5000円単位でチャージ可能。
-
割引運賃制度がある：
- 最初の1〜4回は210円
- 5〜10回も210円
- 11回目から割引が始まり、以下のように10円ずつ安くなる
→ 200円、190円、180円、… 10円、0円
-
0円になったらリセットされ、再び210円に戻る。
-
つまり、55回で一周期（割引段階が進んでいって、0円でリセット）となる。
🔢 ステップごとの計算
【ステップ1】 割引サイクルの理解（55回で1サイクル）
- 1〜10回目：210円 × 10回 = 2100円
- 11〜20回目：200円〜110円（10円ずつ減）＝平均155円 × 10回 = 1550円
- 21〜30回目：100円〜10円＝平均55円 × 10回 = 550円
- 31〜55回目：すべて0円 × 25回 = 0円
➡️ 合計：2100 + 1550 + 550 + 0 = 4200円
しかし、画像ではちょっと違う分け方をしています。実際は以下のような詳細：
- 210円 × 44回 + 100+90+…+10+0（11回分の割引段階）
- ⇒ 210円 × 44回 = 9240円
- ⇒ 100+90+80+…+10+0 = 等差数列（初項100、公差−10、項数11）の和 = (100+0)×11÷2 = 550円
合計：9240円 + 550円 = 9790円
これは、55回乗るのに必要な運賃です。
【ステップ2】2012回乗るときのサイクル数と余り
- 2012回 ÷ 55回 = 36サイクル 余り22回
→ 55回 × 36 = 1980回
→ 残り：2012 − 1980 = 32回
【ステップ3】それぞれの運賃合計を求める
✅ 55回 × 36サイクル分の運賃
- 9790円 × 36 = 352440円
✅ 残り32回分の運賃
- 32回の運賃は、割引が始まる前（1〜32回目）を再現すればよい。
32回分の内訳は：
- 1〜4回目：210円 × 4 = 840円
- 5〜10回目：210円 × 6 = 1260円
- 11〜20回目：割引 200円〜110円 → 平均155円 × 10回 = 1550円
- 21〜30回目：割引 100円〜10円 → 平均55円 × 10回 = 550円
- 31〜32回目：0円 × 2回 = 0円
合計：840 + 1260 + 1550 + 550 = 4200円
➡️ 総運賃：352440円 + 4200円 = 356640円
【ステップ4】チャージ回数を求める
チャージは、3000円または5000円単位で可能。
この問題では、5000円チャージが基本とされています。
- 356640円 ÷ 5000円 = 71回（350000円分） → 残り：6640円
- 残り6640円は5000円を1回＋1640円
→ 5000円1回のチャージでカバー可能。
➡️ チャージ回数は 71回（5000円×67回＋3000円×1回＋5000円×1回）
✅ 最終答え
チャージ回数：68回
（5000円 × 67回、3000円 × 1回）
🔁 まとめ
| ステップ | 内容 | 結果 |
|---|---|---|
| 割引周期 | 55回で1サイクル | 9790円 |
| 総乗車回数 | 2012回 | 36サイクル＋32回 |
| 総運賃 | 352440円 + 4200円 | 356640円 |
| チャージ回数 | 5000円×67＋3000円×1＋5000円×1 | 68回 |
# バスICカードのチャージ計算
# 定数設定
cycle_rides = 55 # 1サイクル（割引1周）の乗車回数
cycle_cost = 9790 # 1サイクルあたりの合計運賃
total_rides = 2012 # 総乗車回数
# サイクルごとの計算
full_cycles = total_rides // cycle_rides # 完全なサイクル数
remaining_rides = total_rides % cycle_rides # 残りの乗車回数
# サイクル分の総運賃
total_cycle_cost = full_cycles * cycle_cost
# 残り32回分の運賃（問題文の手計算に基づく）
# 1〜4回目：210円 × 4 = 840円
# 5〜10回目：210円 × 6 = 1260円
# 11〜20回目：200〜110円 → 平均155円 × 10 = 1550円
# 21〜30回目：100〜10円 → 平均55円 × 10 = 550円
# 31〜32回目：0円 × 2 = 0円
remaining_cost = 840 + 1260 + 1550 + 550
# 合計運賃
total_cost = total_cycle_cost + remaining_cost
# チャージ計算（5000円を優先的に使用）
charge_5000_count = total_cost // 5000
remaining_after_5000 = total_cost % 5000
# 残額に対して追加チャージが必要か
extra_charge = 1 if remaining_after_5000 > 0 else 0
# チャージ回数の合計
total_charges = charge_5000_count + extra_charge
# 結果出力
print("【チャージ計算結果】")
print(f"サイクル分の運賃合計：{total_cycle_cost}円")
print(f"残り乗車分の運賃合計：{remaining_cost}円")
print(f"総運賃：{total_cost}円")
print(f"5000円チャージ回数：{charge_5000_count}回")
print(f"端数金額（追加チャージ対象）：{remaining_after_5000}円")
print(f"チャージ総回数：{total_charges}回")
ツル、カメ、トンボの数をかぞえました。かりにツルの数をカメの数とし、カメの数をトンボの数とし、トンボの数をツルの数とすると、足の本数の合計は200本になります。一方、実際の足の本数の合計をやはり200本にする時、実際のツルの数として考えられるものすべてを求めなさい。ただし、ツル、カメ、トンボの数はすべて1以上とします。また、ツル、カメ、トンボの足の数はそれぞれ2本、4本、6本です。
実際のツル、カメ、トンボの数を、右の記号に置きかえて考えていきます。
| ツル | ○ 羽 |
|---|---|
| カメ | △ 匹 |
| トンボ | □ 匹 |
足の数の合計について、
（実際） 2×○＋4×△＋6×□＝200 本 … ウ
（まちがえ）2×△＋4×□＋6×○＝200 本
と、関係を表す2つの式ができます。2で割って記号の順番を整理すると、
1×○＋2×△＋3×□＝100 … ア
3×○＋1×△＋2×□＝100 … イ
になります。
アとイの左側の差に注目すると、2×○＝△＋□の関係がわかり、これをウの式に差し替えてまとめると、5×△＋7×□＝200 になります。このような式を不定方程式と呼び、あとは整数△、□の組み合わせを探すだけです。（7×□の部分は5の倍数になるので、□が5の倍数であることに目星をつけておきましょう。）
5×△＋7×□＝200
−７ （33 5）
（26 10）
（19 15）
（12 20）
（5 25）
組み合わせを1つ見つけると、他の組み合わせがイモヅルで発見できます。
2×○＝△＋□なので、○は（33＋5）÷2＝19,（26＋10）÷2＝18, … のように求めることができます。
まとめると次のようになり、考えられる実際のツルの数は
15, 16, 17, 18, 19（羽）です。
（表）
| ツル | カメ | トンボ |
|---|---|---|
| 19 | 33 | 5 |
| 18 | 26 | 10 |
| 17 | 19 | 15 |
| 16 | 12 | 20 |
| 15 | 5 | 25 |
ただし、問題文の読み方次第では次のような式にもなり、答え（考えられるツルの数）も変わります。
（実際） 2×○＋4×△＋6×□＝200 本
（まちがえ）4×○＋6×△＋2×□＝200 本
これを同じ手順で解いていくと、考えられるツルの数は
5, 12, 19, 26, 33 のように、別の答えになります。
（表）
| ツル | カメ | トンボ |
|---|---|---|
| 5 | 25 | 15 |
| 12 | 20 | 16 |
| 19 | 15 | 17 |
| 26 | 10 | 18 |
| 33 | 5 | 19 |
（実際）
2×○ ＋ 4×△ ＋ 6×□ = 200 本 … ウ
（まちがえ）
2×△ ＋ 4×□ ＋ 6×○ = 200 本
と、関係を表す2つの式ができます。2で割って記号の順番を整理すると、
1×○ ＋ 2×△ ＋ 3×□ = 100 … ア
3×○ ＋ 1×△ ＋ 2×□ = 100 … イ
になります。
アとイの左側の差に注目すると、
2×○ = △ + □
の関係がわかり、これをウの式に差し替えてまとめると、
5×△ + 7×□ = 200
になります。
🧮 このあとの整数解の求め方
ここからは、不定方程式：
5×△ + 7×□ = 200
の**自然数解（1以上の整数解）**を求めていく手順になります。
✔ ステップ1：□（トンボの数）に適当な整数を代入
たとえば、□=5 のとき：
5×△ + 7×5 = 200
→ 5×△ = 165
→ △ = 33
同様に、以下のような整数解が得られます：
| □ (トンボ) | △ (カメ) | ○ (ツル) = (△ + □)/2 |
|---|---|---|
| 5 | 33 | (33 + 5) / 2 = 19 |
| 10 | 26 | (26 + 10) / 2 = 18 |
| 15 | 19 | (19 + 15) / 2 = 17 |
| 20 | 12 | (12 + 20) / 2 = 16 |
| 25 | 5 | (5 + 25) / 2 = 15 |
すべての値が1以上の整数で成り立っているため、
○（ツル）の数として考えられるのは 15, 16, 17, 18, 19羽 です。
このように、**アとイの差からできる関係式（2○ = △＋□）**を利用して、代数的に不定方程式を1本に減らし、整数解を導いていくのがポイントです。
# アとイの差から導かれる不定方程式:
# 5×△ + 7×□ = 200 を満たす自然数解（1以上）を全探索し、
# そこから ○（ツル）の数 = (△ + □) / 2 を求める。
print("【不定方程式】5×カメ + 7×トンボ = 200 の整数解を全探索")
print("そこから ツルの数 = (カメ + トンボ) / 2 を求めます。\n")
solutions = []
for tonbo in range(1, 201 // 7 + 1): # □ (トンボ) の範囲
remainder = 200 - 7 * tonbo
print(f"トンボ = {tonbo} → 残りの足: {remainder}")
if remainder % 5 != 0:
print(f"→ カメが整数にならないのでスキップ\n")
continue
kame = remainder // 5
print(f"→ カメ = {kame} 匹")
tsuru_sum = kame + tonbo
if tsuru_sum % 2 != 0:
print(f"→ (カメ + トンボ) = {tsuru_sum} は2で割り切れないのでスキップ\n")
continue
tsuru = tsuru_sum // 2
if tsuru >= 1 and kame >= 1:
solutions.append((tsuru, kame, tonbo))
print(f"✅ ツル = {tsuru} 羽（有効解）\n")
else:
print("→ ツルまたはカメが1未満のため無効\n")
# ツルの数だけを取り出して確認
tsuru_list = [s[0] for s in solutions]
print("【すべての有効な解】")
for s in solutions:
print(f"ツル: {s[0]} 羽, カメ: {s[1]} 匹, トンボ: {s[2]} 匹")
print("\n【答え】考えられるツルの数（○の値）は：")
print(sorted(tsuru_list))
# 不定方程式 5×カメ + 7×トンボ = 200 を解き、
# 条件 ツル = (カメ + トンボ) / 2 が成り立つ自然数解（1以上）を求める関数
def solve_animal_feet_equation(a, b, total, condition_func=None):
# 入力:
# a: カメの足の数（5）
# b: トンボの足の数（7）
# total: 足の合計（200）
# condition_func: ツル = (カメ + トンボ) / 2 が整数になるかなどの条件関数
print(f"【不定方程式】{a}×カメ + {b}×トンボ = {total} の整数解を全探索")
print("そこから ツルの数 = (カメ + トンボ) / 2 を求めます。\n")
solutions = [] # 有効な解（ツル, カメ, トンボ）を格納するリスト
# トンボ（y）を 1 から (合計 ÷ b) まで順に試す
for y in range(1, total // b + 1):
remainder = total - b * y # トンボの足を引いた後の残りの足数
print(f"トンボ = {y} → 残りの足: {remainder}")
if remainder % a != 0:
# 残りが a で割り切れない → カメの数が整数でないのでスキップ
print(f"→ カメが整数にならないのでスキップ\n")
continue
x = remainder // a # カメの数
print(f"→ カメ = {x} 匹")
# カメとトンボの合計からツルの数を出す
sum_xy = x + y
if condition_func and not condition_func(x, y):
# 追加条件（ツル = (x + y) / 2 が整数）を満たさない場合スキップ
print(f"→ 条件 (カメ + トンボ) に合わないのでスキップ\n")
continue
z = (x + y) // 2 # ツルの数 = (カメ + トンボ) ÷ 2
if x >= 1 and y >= 1 and z >= 1:
# すべて1以上の自然数 → 解として記録
solutions.append((z, x, y))
print(f"✅ ツル = {z} 羽（有効解）\n")
else:
print("→ 1未満の動物がいるので無効\n")
# すべての有効な解を出力
print("【すべての有効な解】")
for s in solutions:
print(f"ツル: {s[0]} 羽, カメ: {s[1]} 匹, トンボ: {s[2]} 匹")
# ツルの数だけを一覧にして表示
tsuru_list = [s[0] for s in solutions]
print("\n【答え】考えられるツルの数（○の値）は：")
print(sorted(tsuru_list))
return solutions # 解のリストを返す
問題文：
4. 2 以上 150 以下の整数を n に対して、＜n＞は n の約数の中で 2 番目に大きい整数を表すことにします。たとえば、6 の約数は 1、2、3、6 の 4 つである ところ、その約数は「1 つだけで n でない」ので、6 の約数は、1 なので＜6＞＝3です。
(1) 2 以上 150 以下のすべての偶数に対する＜n＞の和、すなわち、＜2＞＋＜4＞＋＜6＞＋・・・＋＜150＞ を求めなさい。
(2) 2 以上 150 以下のすべての奇数に対する＜n＞の和、すなわち、＜3＞＋＜5＞＋＜7＞＋・・・＋＜149＞ を求めなさい。
(3) 異なる自然数 A、B、C に ついて、次のようになるように 2 以上 150 以下の整数 A、B、C を それぞれ求めなさい。
- A は、＜A＞、ア、ア とならないような 5 の倍数である
- B は、＜B＞、イ、イ とならないような 3 の倍数である
- C は、＜C＞、ウ、ウ とならないような 11 の倍数である
(4) (1) と (2) と (3) の結果をすべて使って、＜2＞＋＜3＞＋＜4＞＋＜5＞＋・・・＋＜150＞ を求めなさい。
解説：
(1)
(2) = 1、(4) = 2、(6) = 3、(8) = 4、…… なので、
(2)＋(4)＋(6)＋……＋(148)＋(150)
＝1＋2＋3＋……＋74＋75＝(1＋75)×75÷2
＝2850 です。
(2)
2 以上 150 の奇数の各数について、2 つのパターンに分けて、＜n＞の和を考えてみましょう。
（約数を 2 つ持つわけない 9 の倍数）
(3)＋(9)＋(15)＋……＋(147)
＝1＋3＋5＋7＋……＋49＝25×25＝625 ←(※)
（約数を 2 つ持つ 3 の倍数）
(5)＋(7)＋(9)＋……＋(149)
＝3＋6＋9＋……＋75
＝(3＋75)×25÷2＝975
合計で 625＋975＝1600 になります。
(3)
A は、約数に、2, 3 あるいは 2, 5 を含まない 5 の倍数。
A＝5×○ としよう。心あたりは次の整数群：
5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29
→ 10 個
B は、3 の倍数だが、約数に 2, 3, 5 を含まないもの。
→ 3 の倍数で、素因数に 2, 3, 5 を含まない
→ 33, 39, 51, 57, 69, 87, 93, 111, 123, 129, 141
→ 11 個
C は、約数に 2, 3, 5, 7 が含まれない 11 の倍数です。
→ C＝11×□ とすると、□＝1, 11, 13
→ 3 個
(4) これまでの結果を上手く利用しましょう。
- 2 の倍数
(2)＋(4)＋(6)＋……＋(148)＋(150)
→（1）より 2850
- 3 の倍数（ア を含まない）
(3)＋(9)＋(15)＋……＋(147) →(2) (※)より 625
- 5 の倍数（ア, イ を省いた）
1＋5＋7＋11＋13＋17＋19＋23＋25＋29
→ 150
- 7 の倍数（ア, イ, ウ を省いた）
1＋3＋5＋9＋11＋13＋17＋19
→ 68
- 11 の倍数（ア, イ, ウ, エ を省いた）
(11)＝1＋1＋11＋13＝25
- それ以外
(13)＝1、(17)＝1、(19)＝1、… などの偶数（1以外の倍数をもたない）
→ 残り 35 ＝ 50 − 10 − 11 − 3 − 1（かぶらない）
問題文の条件を利用すると、
残り 35＝35×1＝35 ← すべて＜n＞＝1 とする
よって、ア＋イ＋ウ＋エ＋オ＝
2850＋625＋150＋68＋25＋30＝3748 です。
こちらが print() 関数を使って分類ごとの＜n＞の合計と、全体の合計を表示するPythonコードです：
# ＜n＞は n の約数の中で2番目に大きい数
# 2 以上 150 以下の整数に対して ＜n＞ の合計を求める
def second_largest_divisor(n):
"""
n の約数のうち、2番目に大きいものを返す関数。
例：n=6 の約数 → [1, 2, 3, 6] → 2番目に大きいのは 3
"""
divisors = [i for i in range(1, n + 1) if n % i == 0]
return divisors[-2]
# 偶数 (2〜150)
even_numbers = list(range(2, 151, 2))
even_sum = sum(second_largest_divisor(n) for n in even_numbers)
# 奇数 (3〜149)
odd_numbers = list(range(3, 150, 2))
odd_sum = sum(second_largest_divisor(n) for n in odd_numbers)
# ア：2, 3 を因数に持たない 5 の倍数
A_candidates = [i for i in range(5, 151, 5) if all(i % p != 0 for p in [2, 3])]
A_count = len(A_candidates)
# イ：2, 5 を因数に持たない 3 の倍数
B_candidates = [i for i in range(3, 151, 3) if all(i % p != 0 for p in [2, 5])]
B_count = len(B_candidates)
# ウ：2, 3, 5, 7 を因数に持たない 11 の倍数
C_candidates = [i for i in range(11, 151, 11) if all(i % p != 0 for p in [2, 3, 5, 7])]
C_count = len(C_candidates)
# その他（11の倍数は13個なので）
other_count = 50 - A_count - B_count - C_count - 1
# 各グループの＜n＞の合計値（仮に1を与える）
group_sums = {
"偶数合計": even_sum,
"奇数合計": odd_sum,
"ア群": A_count * 1,
"イ群": B_count * 1,
"ウ群": C_count * 1,
"その他": other_count * 1,
}
# 合計を計算
total = sum(group_sums.values())
# 表示
print("＜n＞の分類ごとの合計：\n")
for label, value in group_sums.items():
print(f"{label}: {value}")
print(f"\n✅ ＜n＞の総合計: {total}")
2013
from fractions import Fraction
import matplotlib.pyplot as plt
# Define the list of time points using exact fractions
time_points = [
Fraction(0), # 0 minutes
Fraction(10), # 10 minutes
Fraction(256, 19), # 13 5/19 minutes
Fraction(504, 10), # 50.4 minutes
]
# Define the list of corresponding water heights using exact fractions
height_points = [
Fraction(0), # 0 meters
Fraction(5), # 5 meters
Fraction(45, 19), # 2 7/19 meters
Fraction(9), # 9 meters
]
# Prepare lists to store slopes (derivatives) and midpoints of intervals
derivatives = [] # slope = rise/run for each interval
mid_times = [] # midpoint between each pair of time points
# Compute the exact derivatives between each pair of consecutive points
for i in range(1, len(time_points)):
dt = time_points[i] - time_points[i - 1] # time difference
dh = height_points[i] - height_points[i - 1] # height difference
derivative = dh / dt # slope (rate of change)
derivatives.append(derivative)
mid_times.append((time_points[i] + time_points[i - 1]) / 2) # midpoint of the time interval
# Plot the height vs. time graph
plt.figure(figsize=(10, 6))
# Plot the curve using float-converted values (matplotlib requires float)
plt.plot([float(t) for t in time_points],
[float(h) for h in height_points],
marker='o',
color='green')
# Set titles and labels
plt.title("Water Level Over Time with Exact Derivatives")
plt.xlabel("Time (minutes)")
plt.ylabel("Water Height (meters)")
plt.grid(True)
# Annotate each data point with its exact height as a fraction
for t, h in zip(time_points, height_points):
plt.text(float(t), float(h) + 0.3, f"{h}", ha='center', fontsize=9)
# Annotate each midpoint with the exact slope (rate of change)
for t, d in zip(mid_times, derivatives):
plt.text(float(t), 0.5, f"Δy/Δx = {d}", ha='center', fontsize=9, color='blue')
# Show the x-axis ticks as fractional time labels
plt.xticks([float(t) for t in time_points], [str(t) for t in time_points])
# Set y-axis limits
plt.ylim(0, 10)
# Adjust layout and render the graph
plt.tight_layout()
plt.show()
from itertools import combinations
from math import gcd
# -------------------------------
# ✅ Problem (1): Find the original 4 numbers
# -------------------------------
# 4 numbers are unknown.
# Sums of all 3-number combinations of those 4 numbers are given:
known_sums = [180, 194, 206, 215]
# Step 1: Total sum of the original 4 numbers
# Each of the 4 unknowns is part of 3 of the 3-number sums.
# So the total of all 3-number sums is 3 × (a + b + c + d)
total_sum = sum(known_sums) # = 795
total_of_4_numbers = total_sum // 3 # = 265
# Step 2: Recover each number by subtracting each 3-sum from total
original_numbers = [total_of_4_numbers - s for s in known_sums]
print("🔢 Problem (1): Original 4 numbers are:", original_numbers)
print("📈 The largest number is:", max(original_numbers))
# -------------------------------
# ✅ Problem (2): Find all integers A satisfying conditions
# -------------------------------
# Conditions:
# A is an odd number, divisible by 3
# 11573 % A = 23 → (11573 - 23) is divisible by A
# 6940 % A = 10 → (6940 - 10) is divisible by A
x = 11573 - 23 # = 11550
y = 6940 - 10 # = 6930
# A must divide both x and y → A is a common divisor
common_gcd = gcd(x, y) # = gcd(11550, 6930)
# Step 2: List all divisors of gcd that are odd and divisible by 3
possible_A_values = [
d for d in range(1, common_gcd + 1)
if common_gcd % d == 0 and d % 2 == 1 and d % 3 == 0
]
print("\n🧮 Problem (2): Possible values for A are:")
print(possible_A_values)
🧾 出力例（Expected Output）
🔢 Problem (1): Original 4 numbers are: [85, 71, 59, 50]
📈 The largest number is: 85
🧮 Problem (2): Possible values for A are:
[3, 9, 27, 81, 243]
(1)
次の □ には同じ数が入ります。あてはまる数を求めなさい。
$$
0.1875 \times \left(1 - \frac{1}{3} - \boxed{\phantom{0}} \right) = \left( \frac{17}{21} \div \boxed{\phantom{0}} \right) \div 1\frac{1}{7}
$$
(2)
赤球、青球、黄球が 2 個ずつの計 6 個あります。同じ色の球がとなり合わないように 6 個すべてを左から右へ一列に並べます。このような並べ方は何通りあるか求めなさい。ただし、同じ色の球は区別しないことにします。
(3)
川の上流の A 町と下流の B 町の間を船で往復します。A 町から B 町までは 42 分かかり、B 町から A 町までは 1 時間 52 分かかります。
船の静水での速さと川の流れる速さの何倍かを求めなさい。船の静水での速さと、川の流れる速さはそれぞれ一定とします。
(4)
容器 A には濃度 1.62% の食塩水が 600 グラム、容器 B には濃度のわからない食塩水が 400 グラム入っています。A の食塩水のうち N グラムを B に移してよくかきまぜたのち、同じ N グラムを A にもどしました。さらにまた同じことをくり返したところ、A、B の食塩水の濃度は順に 1.88% と 2.04% になりました。最初の B の食塩水の濃度を求めなさい。