$$
V(T) = 1.049 \times 10^{-5} \cdot (T - 4.25)^2 + 1.00001
$$
（※ 単位：体積 $V$ は cm³、温度 $T$ は ℃）
各区間の温度変化の近似式（時間 $t$、温度 $T(t)$、単位は分と℃）
1. 区間①（0〜2分）氷の温度上昇
$$
T(t) = 20t - 40 \quad (0 \leq t \leq 2)
$$
2. 区間②（2〜10分）氷と水（融解）→温度一定
$$
T(t) = 0 \quad (2 < t \leq 10)
$$
3. 区間③（10〜20分）水の温度上昇
$$
T(t) = 10(t - 10) \quad (10 < t \leq 20)
$$
または
$$
T(t) = t \cdot 10 - 100 \quad (10 < t \leq 20)
$$
4. 区間④（20〜x分）水と水蒸気（沸騰）→温度一定
$$
T(t) = 100 \quad (20 < t \leq 72)
$$
5. 区間⑤（72〜74分）水蒸気の温度上昇（仮定）
$$
T(t) = 100 + 10(t - 72) \quad (72 < t \leq 74)
$$
$$
T(x) = 24388 \cdot e^{-0.374x} - 3218
$$
- $T(x)$：温度（度）
- $x$：色のスケール（青白 = 0, 白 = 1, 黄 = 2, オレンジ = 3, 赤 = 4 など）
この式は、星の色が赤に近づくほど温度が下がるという関係を表現しています。
この画像は、濃度の異なる水溶液を混ぜて目的の濃度を作る問題です。以下に、各番号に対応する式と簡単な解説をまとめます。
①
「20%の食塩水を150gつくるには、何gの水に何gの食塩を溶かせばよいですか。」
- 食塩：$150 \times 0.20 = 30$ g
- 水：$150 - 30 = 120$ g
✅ 式：
$$
\text{食塩} = 150 \times 0.20 = 30,g,\quad \text{水} = 150 - 30 = 120,g
$$
②
「20%の食塩水100gを5%にするには、何gの水を加えればよいか。」
- 食塩は変わらず：$100 \times 0.20 = 20$ g
- 5%になるような全体の質量：$\frac{20}{0.05} = 400$ g
- 加える水：$400 - 100 = 300$ g
✅ 式：
$$
100 \times 0.20 = 20,g,\quad \frac{20}{0.05} = 400,g,\quad 400 - 100 = 300,g
$$
③
「35%のアルコール100gを50%にするには、何gのアルコールを加えればよいか。」
- 元のアルコール：$100 \times 0.35 = 35$ g
- 追加するのは純アルコール（100%）なので、$x$ g追加して
- $\frac{35 + x}{100 + x} = 0.50$ を解く
✅ 式：
$$
\frac{35 + x}{100 + x} = 0.50 \Rightarrow x = 30,g
$$
④
「20%のさとう水100gと8%のさとう水200gを混ぜたときの濃度は？」
- 全体：$100 + 200 = 300$ g
- 溶質：$100 \times 0.20 + 200 \times 0.08 = 20 + 16 = 36$ g
- 濃度：$\frac{36}{300} = 0.12 = 12%$
✅ 式：
$$
\frac{100 \times 0.20 + 200 \times 0.08}{300} = 12%
$$
⑤
「125 cm³の水に、35%の濃い塩酸を加えて10%の薄い塩酸を作る」
- 濃い塩酸：$x$ g、1gの体積は0.85 cm³ → 体積 = $0.85x$
- 溶質：$0.35x$ g
- 全体の体積：$125 + 0.85x$ cm³
- 濃度：$\frac{0.35x}{125 + 0.85x} = 0.10$ を解く
✅ 式：
$$
\frac{0.35x}{125 + 0.85x} = 0.10 \Rightarrow x = 50,g
$$
⑥
「20%の水酸化ナトリウム水溶液を5%にうすめるには、1cm³に対して何cm³の水を加えるか」
- 20%水溶液1cm³ → 重さ：1.2g、その中のNaOH：$1.2 \times 0.20 = 0.24$ g
- 加水後、濃度が5%になる → 全体の質量：$\frac{0.24}{0.05} = 4.8$ g
- 必要な水：$4.8 - 1.2 = 3.6$ g → 3.6 cm³（水の密度 = 1g/cm³）
✅ 式：
$$
\text{NaOH} = 1.2 \times 0.20 = 0.24,g,\quad \text{全体質量} = \frac{0.24}{0.05} = 4.8,g,\quad \text{加える水} = 4.8 - 1.2 = 3.6,\text{cm}^3
$$
水平方向（x方向）の運動：
水平方向には加速度が働かないので、等速直線運動です。
$$
x(t) = v_0 \cdot t
$$
- $x(t)$：水平距離（m）
- $v_0$：初速度（m/s）
- $t$：経過時間（s）
鉛直方向（y方向）の運動：
重力による等加速度運動になります。
$$
y(t) = \frac{1}{2} g t^2
$$
- $y(t)$：落下距離（m）
- $g$：重力加速度（約 9.8 m/s²）
- $t$：経過時間（s）
🌐 合成された軌道：
水平方向と鉛直方向の運動が合成されて、放物線状の軌道になります。
✅ 見えること：
- 水平方向の間隔は等間隔 → 等速運動を表す。
- 鉛直方向の間隔が広がる → 加速していることを表す（重力の影響）。
✅ 意味：
- 横軸：過酸化水素水の濃さ（%）
- 縦軸：その濃度の過酸化水素水 50 cm³ から発生する酸素の体積（L）
✅ 式（再確認）：
$$
y = 0.2x
$$
- $x$：濃さ（%）
- $y$：酸素の発生量（L）
- 使用量：過酸化水素水 50 cm³ 固定
✅ 例：
- 5% のとき：$y = 0.2 \times 5 = 1.0,L$
- 8% のとき：$y = 0.2 \times 8 = 1.6,L$
- 10% のとき：$y = 0.2 \times 10 = 2.0,L$
このグラフは「あえん（亜鉛）1.3gを塩酸に溶かしたときに発生する気体（おそらく水素）」の体積と、塩酸の体積との関係を表しています。
✅ グラフの特徴と式の解説
グラフの形状：
- 横軸：塩酸の体積（cm³）
- 縦軸：発生する気体の体積（cm³）
- 0〜12 cm³ までは直線的に増加
- 12 cm³ 以降は横ばい（最大約 440 cm³）
✅ 意味すること
-
0〜12 cm³ の区間（塩酸が反応に十分）
→ 反応は進行中、発生する気体の量は塩酸に比例する
→ 一次関数で表される：
$$
y = \frac{440}{12}x \quad (0 \leq x \leq 12)
\Rightarrow y = 36.67x
$$
- $x$：塩酸の体積（cm³）
- $y$：気体の体積（cm³）
-
12 cm³ 以降（亜鉛がすべて反応し終えた）
→ これ以上塩酸を加えても気体は増えない（反応が完結）
$$
y = 440 \quad (x > 12)
$$
✅ 全体の式（区分関数）：
$$
y =
\begin{cases}
36.67x & \text{（0 ≦ x ≦ 12）} \
440 & \text{（12 < x ≦ 20）}
\end{cases}
$$
このグラフは「アルミニウムと塩酸の反応」によって発生する気体の体積（グラフA）と、残った固体の質量（グラフB）の関係を示しています。以下に、それぞれのグラフの意味と式を解説します。
◆ グラフ A〈発生した気体〉
- 横軸：アルミニウムの重さ（g）
- 縦軸：発生した気体の体積（cm³）
✅ 特徴：
- アルミ 0.0〜0.2g：気体はアルミ量に比例して増加（直線）
- アルミ 0.2g以降：気体の量は一定（約 400 cm³）
→ 塩酸が足りなくなり、それ以上反応しない
✅ 式（区分的に）：
$$
y =
\begin{cases}
2000x & \text{（0 ≤ x ≤ 0.2）} \
400 & \text{（0.2 < x ≤ 0.5）}
\end{cases}
$$
※ $2000 = \frac{400}{0.2}$
◆ グラフ B〈残った固体〉
- 横軸：アルミニウムの重さ（g）
- 縦軸：残った固体の重さ（g）
✅ 特徴：
- アルミ 0.0〜0.2g：反応で全部溶ける → 固体は塩（たとえばAlCl₃）だけ → 約 1.6g
- アルミ 0.2g以降：余ったアルミが残る → 固体の質量が増える
✅ 式（区分的に）：
$$
y =
\begin{cases}
8x & \text{（0 ≤ x ≤ 0.2）} \
x + 1.4 & \text{（0.2 < x ≤ 0.5）}
\end{cases}
$$
- 0.2gのとき：$8 \times 0.2 = 1.6,g$
- 0.3gのとき：残りのアルミ0.1gが追加 → $1.6 + 0.1 = 1.7,g$
- 0.4gのとき：$1.6 + 0.2 = 1.8,g$
🧪 背景知識（化学）
反応式：
$$
2Al + 6HCl → 2AlCl_3 + 3H_2↑
$$
- アルミと塩酸が反応して水素（気体）が出る
- 塩酸が限られているため、アルミが多すぎると反応しきれず残る
✅ まとめ
| グラフ | 内容 | 変化の式 |
|---|---|---|
| A（気体の体積） | 0〜0.2g：$y = 2000x$、それ以上：400 cm³ | 発生気体の上限 |
| B（残った固体） | 0〜0.2g：$y = 8x$、それ以上：$y = x + 1.4$ | アルミが余ると固体増える |
このグラフは、ばねの長さと重さの関係を示しています。重さ（g）を横軸に、ばねの長さ（cm）を縦軸にとった一次関数のグラフです。
🔍 各ばねの特徴と式の導出
ばね A（上の直線）：
- 初期長さ（重さ 0 g のとき）：20 cm
- 60 g のときの長さ：約35 cm
→ 変化量：35 - 20 = 15 cm の伸び
→ 傾き：$\frac{15}{60} = 0.25$
✅ 式：
$$
y = 0.25x + 20
$$
ばね B（下の直線）：
- 初期長さ：10 cm
- 60 g のとき：約34 cm
→ 変化量：34 - 10 = 24 cm
→ 傾き：$\frac{24}{60} = 0.4$
✅ 式：
$$
y = 0.4x + 10
$$
✅ 比較と解釈
| 項目 | ばねA | ばねB |
|---|---|---|
| 初期長さ | 20 cm | 10 cm |
| 伸びやすさ（傾き） | 0.25 | 0.4 |
| 傾きが大きいほど | 柔らかい | より柔らかい |
🧠 物理的背景：
ばねの長さと重さはフックの法則（Hooke's Law）に従い、
$$
\text{長さ} = kx + \text{自然長}
$$
という一次関数で表されます。
✅ ばねA の式（青の直線）：
$$
y = 0.25x + 20
$$
- $x$：重さ（g）
- $y$：ばねの長さ（cm）
- 初期長さ 20cm、1gあたり0.25cm伸びる（硬いばね）
✅ ばねB の式（緑の直線）：
$$
y = 0.4x + 10
$$
- $x$：重さ（g）
- $y$：ばねの長さ（cm）
- 初期長さ 10cm、1gあたり0.4cm伸びる（柔らかいばね）
✅ 基本法則：モノコードの振動数と要因の関係
モノコードの振動数 $f$ は以下の式に比例して変化します：
$$
f \propto \frac{1}{\sqrt{m}} \quad\text{（おもりの質量が増えると振動数は減る）}
$$
$$
f \propto \frac{1}{L} \quad\text{（ことじの位置＝長さが長くなると振動数は減る）}
$$
✅ 各問いの解説
（1）①と②を比較：
- おもりの数：1 → 4（4倍）
- 振動数：400 → 200（1/2倍）
➡ 振動数は $\frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$ 倍になる →
答え：(1) = 1, (2) = 3（ルート4 = 2）
（2）①と③を比較：
- 長さ：20cm → 60cm（3倍）
- 振動数：400 → 1200（3倍）
➡ 長さが3倍になると振動数は $\frac{1}{3}$ 倍になる
→ よって元のが3倍 → 比例して振動数が3倍に
答え：(3) = 3, (4) = 3
（3）⑥の振動数（(5)）を求める
比較：⑤と⑥を比較（他の条件は全て同じ）
- おもりの数：4 → 9（→ $\frac{1}{\sqrt{9/4}} = \frac{2}{3}$ 倍）
- ⑤の振動数：100 → ⑥は？
$$
f = 100 \times \frac{2}{3} = 66.7 \approx 67
$$
よって (5) = 67
✅ 最終まとめ
| 番号 | おもりの数 | 長さ (cm) | 振動数 (回) | 備考 |
|---|---|---|---|---|
| ① | 1 | 20 | 400 | 基準 |
| ② | 4 | 20 | 200 | おもり4倍で振動数1/2 |
| ③ | 4 | 60 | 1200 | 長さ3倍で振動数3倍 |
| ④ | 9 | 60 | 400 | おもり増で振動数減 |
| ⑤ | 4 | 20 | 100 | 太さ太く振動数減 |
| ⑥ | 9 | 20 | 67 | (5)の答え |
✅ グラフの読み取りポイント
縦軸：
- 「1時間あたりのでんぷんの増減（mg）」
- プラス：光合成量が呼吸量を上回り、でんぷんが増加
- マイナス：光合成量 < 呼吸量 → でんぷんが減少
横軸：
- 光の強さ（単位は不明、相対値と考えられる）
🌿 2つの植物
① シイ
- A点（約500）で 呼吸量＝光合成量（でんぷん増減が0）
- それ以上の光で増加し、約800で**飽和（頭打ち）**→直線に
- 飽和値：約+10 mg/h
✅ 式のイメージ（単純なモデル）：
$$
f(x) =
\begin{cases}
\frac{10}{300}(x - 500) & \text{（500 ≤ x < 800）} \
10 & \text{（x ≥ 800）}
\end{cases}
$$
② ケヤキ
- B点（約1000）で 呼吸量＝光合成量（でんぷん増減が0）
- より多くの光で光合成量が増える
- 約2000で飽和 → 最大で+20 mg/h
✅ 式のイメージ（単純なモデル）：
$$
f(x) =
\begin{cases}
\frac{20}{1000}(x - 1000) & \text{（1000 ≤ x < 2000）} \
20 & \text{（x ≥ 2000）}
\end{cases}
$$
✅ 重要な式・関係
呼吸量と光合成量が等しい点（でんぷん増減 = 0）を「光補償点」と呼ぶ。
| 植物 | 光補償点 | 飽和点 | 最大でんぷん増加量 |
|---|---|---|---|
| シイ | 約500 | 約800 | 約+10 mg/h |
| ケヤキ | 約1000 | 約2000 | 約+20 mg/h |
✅ 縦軸：
- 100 cm³ の水に溶けるホウ酸の最大量（限度量）［g］
✅ 横軸：
- 水の温度（℃）
🔍 読み取りポイント（例）：
| 温度 (℃) | 溶解度 (g/100cm³) |
|---|---|
| 0 | 3 |
| 20 | 5 |
| 40 | 9 |
| 60 | 15 |
| 80 | 24 |
| 100 | 38 |
→ 温度が上がると急激に溶解度が増える、指数関数的な関係があることがわかります。
✅ 数式で表すと（近似式）：
この関係は、指数関数で近似できます。
$$
S(T) \approx a \cdot e^{bT}
$$
- $S(T)$：温度 $T$ ℃ でのホウ酸の溶解度（g/100cm³）
- $a, b$：定数（実験データからフィッティング）
✅ おおよその近似式（例）：
フィッティングすると、次のような近似式が使えます：
$$
S(T) \approx 2.2 \cdot e^{0.035T}
$$
これは概算ですが、以下のように当てはまります：
- $T = 20$：$S \approx 2.2 \cdot e^{0.7} \approx 4.4$（グラフ値：5）
- $T = 60$：$S \approx 2.2 \cdot e^{2.1} \approx 15.7$（グラフ値：15）
🧪 物理的意味：
- 温度が上がると、水分子の運動が激しくなり、ホウ酸がより速く・多く溶ける。
- 飽和溶液から冷やすと結晶が析出するのはこの性質に由来します。
このグラフは「月ごとの気温と太陽高度の変化」を表しています。
✅ 各軸の意味
- 横軸：月（1月〜12月）
- 左の縦軸：気温（℃）
- 右の縦軸：太陽高度（度）
🔍 読み取りポイント
- 太陽高度（赤線）は 6月に最大（約78°）、12月に最小（約31°）
- 気温（青線）は 8月に最大（約28°C）、1月に最小（約5°C）
- → 太陽高度のピークと気温のピークには約2か月のズレがある（季節の遅れ）
✅ 太陽高度の近似式（赤線）
太陽高度 $H(t)$ は、ほぼ正弦関数で近似できます：
$$
H(t) = A \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{12}(t - \phi)\right) + C
$$
- $t$：月（1〜12）
- $A$：振幅（約30）
- $\phi$：位相（ずれ）、3 月ごろに 0 になるので $\phi ≈ 3$
- $C$：平均値（中央線）、$C ≈ 60$
✅ 例：
$$
H(t) ≈ 30 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{12}(t - 3)\right) + 60
$$
✅ 気温の近似式（青線）
気温 $T(t)$ も正弦波で近似できますが、ピークが太陽高度より約2か月遅れるため位相が異なります。
$$
T(t) ≈ 12 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{12}(t - 5)\right) + 17
$$
- 振幅：おおよそ ±12℃
- 中央値：17℃
- 位相：ピークが8月→ $\phi ≈ 5$
✅ ポイントまとめ
| 要素 | 太陽高度 | 気温 |
|---|---|---|
| 関数型 | 正弦関数 | 正弦関数 |
| 振幅 | 約30 | 約12 |
| 平均値 | 約60 | 約17 |
| 位相（ピーク） | 6月ごろ（t = 6, φ = 3） | 8月ごろ（t = 8, φ = 5） |
🧠 解釈
- 太陽高度が高くなると、エネルギーが増える → しかし気温は地面が温まるまでに時間差がある（季節の遅れ）。
- これは地球の熱の蓄積・放出のタイムラグによるもの。