この記事では統計学・機械学習の教科書である、C. M. Bishop 著「パターン認識と機械学習」（略称：PRML）の演習問題を私が解いた結果を載せています。この本は私が所属する研究室の輪読会で現在扱われていて、勉強の一環として演習問題を解いています。
問題
非常に有用な線形代数の結果である Woodbury 行列反転公式 (Woodbury matrix inversion formula) は
\mathbf{
(A + B C D)^{-1}
= A^{-1} - A^{-1} B (C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} D A^{-1}
}
> である。この両辺に $\mathbf{(A + B C D)}$ を掛けて。この公式を証明せよ。
# 解答
***証明***
```math
\mathbf{
(A + B C D)^{-1} (A + B C D) = I \\
}
\begin{align}
& \ \mathbf{
\left[
A^{-1} - A^{-1} B (C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} D A^{-1}
\right]
(A + B C D)
} \\
= & \ \mathbf{
I + A^{-1} B C D -
A^{-1} B (C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} D +
A^{-1} B (C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} D A^{-1} B C D
} \\
= & \ \mathbf{
I + A^{-1} B C D -
A^{-1} B
\left[
(C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} +
(C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} D A^{-1} B C
\right]
D
} \\
= & \ \mathbf{
I + A^{-1} B C D -
A^{-1} B
\left[
(C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} C^{-1} +
(C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} D A^{-1} B
\right]
C D
} \\
= & \ \mathbf{
I + A^{-1} B C D -
A^{-1} B
(C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} (C^{-1} + D A^{-1} B)
C D
} \\
= & \ \mathbf{
I + A^{-1} B C D - A^{-1} B C D
} \\
= & \ \mathbf{ I }
\end{align}
以上より、示された。（証明終）