　この記事では統計学・機械学習の教科書である、C. M. Bishop 著「パターン認識と機械学習」（略称：PRML）の演習問題を私が解いた結果を載せています。この本は私が所属する研究室の輪読会で現在扱われていて、勉強の一環として演習問題を解いています。

問題

非常に有用な線形代数の結果である Woodbury 行列反転公式 (Woodbury matrix inversion formula) は

\mathbf{
  (A + B C D)^{-1}
    = A^{-1} - A^{-1} B (C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} D A^{-1}
}

である。この両辺に $\mathbf{(A + B C D)}$ を掛けて。この公式を証明せよ。

解答

証明

\mathbf{
  (A + B C D)^{-1} (A + B C D) = I \\
}

\begin{align}
  
   & \ \mathbf{
       \left[
         A^{-1} - A^{-1} B (C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} D A^{-1}
       \right]
       (A + B C D)
     } \\

 = & \ \mathbf{
       I + A^{-1} B C D -
       A^{-1} B (C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} D + 
       A^{-1} B (C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} D A^{-1} B C D
     } \\

 = & \ \mathbf{
       I + A^{-1} B C D -
       A^{-1} B
       \left[
         (C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} + 
         (C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} D A^{-1} B C
       \right]
       D
     } \\

 = & \ \mathbf{
       I + A^{-1} B C D -
       A^{-1} B
       \left[
         (C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} C^{-1} + 
         (C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} D A^{-1} B
       \right]
       C D
     } \\

 = & \ \mathbf{
       I + A^{-1} B C D -
       A^{-1} B
       (C^{-1} + D A^{-1} B)^{-1} (C^{-1} + D A^{-1} B)
       C D
     } \\

 = & \ \mathbf{
       I + A^{-1} B C D - A^{-1} B C D
     } \\

 = & \ \mathbf{ I }

\end{align}

以上より、示された。（証明終）