IntelliJ の CheckStyle-IDEA Plugin ですが、 2024/03/10 にリリースされた v5.88.0 で Checkstyle v8 系の対応が削除されました。

5.88.0: Breaking: Drop support for Checkstyle 8, to reduce archive size.
Release 5.88.0 · jshiell/checkstyle-idea

現在、設定で選べる Checkstyle のバージョンが v9.0.1 〜 v10.14.0 になっています。
ただ、Checkstyle はプロパティの入れ替えが結構多いので、バージョンが変わるとこんなエラーが出たりします。

Checkstyle-Plugin: cannot initialize module TreeWalker - cannot initialize module JavadocMethod - Property 'allowUndeclaredRTE' does not exist, please check the documentation
Checkstyle-Plugin: cannot initialize module TreeWalker - cannot initialize module JavadocMethod - Property 'scope' does not exist, please check the documentation

そのため、エラーメッセージをもとに checkstyle.xml の設定を修正する必要があります。

 <module name="JavadocMethod">
-    <property name="scope" value="public"/>
+    <property name="accessModifiers" value="public"/>
 </module>

もしくは、最新の google_checks.xml を持ってきてもいいかもしれません。

ただ、困ったことにIntelliJ でエラーが出ないように checkstyle.xml を直すと、今度は Gradle でエラーになります。
これは Gradle の Checkstyle Plugin が使うバージョンは v8.3.7 になっているためです。

そのため、IntelliJ で設定したのと同じバージョンの Checkstyle が使われるように build.gradle に設定を追加する必要があります。

checkstyle {
    toolVersion = '9.0.1'
}

参考