2014年度夏の院試の解答例です
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※記載の内容は筆者が個人的に解いたものであり、正答を保証するものではなく、また東京大学及び本試験内容の提供に関わる組織とは無関係です。

出題テーマ

再帰
多角形の点の内包

(1)

from numpy import sqrt


# (1
def R0_num(d):
    return (int(10.0 / d) + 1)**2

(2)

def checkInside(x, y):
    return abs(x - 5.0)**2 + abs(y - 5.0)**2 <= 25.0

def R1_num(d):
    ret = 0
    col = row = int(10.0 / d) + 1
    for i in range(0, col):
        for j in range(0, row):
            if (checkInside(i * d, j * d)):
                ret += 1
    return ret

def solve(d):
    return (R1_num(d) / R0_num(d)) * 0.25

(3), (4)

def solve(n):
    tmp_tri_area = 25.0 * sqrt(3.0)
    ret = tmp_tri_area
    increase = 3
    for i in range(0, n):
        tmp_tri_area /= 9
        ret += tmp_tri_area * increase
        increase *= 4

    return ret

(5), (6)

計算量
O((-5√3/3 <= y <= 5√3かつ0 <= x <= 10にあるグリッドの数) * (辺の数: 3 * 4^n))
d = 1.0とかでもn = 7で限界(c++だと9くらいまではいけるかも、基準は2secくらいです)
この問題はもっといい解き方があるかもしれないが、筆者は時間内に思いつかなかったのでこうした
Cordinateモジュールは螺旋本の16章を参考に筆者が院試用に独自にカスタマイズしたものなので、一応公開は院試後にすることにします。（と言っても基本的には螺旋本の16章をそのままpythonで実装しただけです。）

import sys
sys.path.append('..')

from Cordinate import *

def koch_points(n, p1, p2):
    ret = []
    def koch(n, p1, p2):
        if (n == 0):
            return
        s = p1 + (p2 - p1) / 3
        u = p1 + 2 * (p2 - p1) / 3
        t = rotate(u, s, 60)
        koch(n - 1, p1, s)
        ret.append(s)
        koch(n - 1, s, t)
        ret.append(t)
        koch(n - 1, t, u)
        ret.append(u)
        koch(n - 1, u, p2)
    koch(n, p1, p2)
    ret.insert(0, p1)
    ret.append(p2)
    return ret


def solve(d, n):
    p1 = Point(0, 0)
    p2 = Point(5, 5 * sqrt(3))
    p3 = Point(10, 0)
    polygon = []
    tmp1 = koch_points(n, p1, p2)
    polygon.extend(tmp1)
    polygon.pop(-1)
    tmp2 = koch_points(n, p2, p3)
    polygon.extend(tmp2)
    polygon.pop(-1)
    tmp3 = koch_points(n, p3, p1)
    polygon.extend(tmp3)
    polygon.pop(-1)

    check_points = []

    # 負方向への行間隔数
    negative_rows = int((5 * sqrt(3) / 3) / d + 1e-12)
    # 正方向への行間隔数
    positive_rows = int(5 * sqrt(3) / d + 1e-12)
    # 列間隔数
    columns = int(10 / d + 1e-12)

    # y軸負方向のグリッドをcheck_pointsに追加（x軸含めない
    for i in range(1, negative_rows+1):
        for j in range(0, columns+1):
            check_p = Point(d * j, -(d * i))
            check_points.append(check_p)

    # y軸正方向のグリッドをcheck_pointsに追加（x軸含める
    for i in range(0, positive_rows+1):
        for j in range(0, columns+1):
            check_p = Point(d * j, d * i)
            check_points.append(check_p)

    ret = 0
    for i in range(0, len(check_points)):
        point = check_points[i]
        if (contains(polygon, point) > 0):
            ret += 1
    return ret

感想

計算量度外視するなら競プロ勢はc++での方が書きやすいだろう, というか青コーダー以上の人とか１時間くらいで解き終わってしまうかもしれない。
逆にいうと点の内包の解き方を知らないと(5), (6)は何もできないと思うのでこの年はアルゴリズム重視の年だと思う。