scipy.stats: 平均値まわりの第 r 次母積率 moment

平均値まわりの r 次母積率

$(x-\mu)^r$ の期待値のことである。$\nu_r'$ で表すことが多い。

離散変数のときは

$\nu_r' = \sum(x-\mu)^r f(x)$

連続変数のときは

$\nu_r' = \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu）^rf(x）dx$

moment(a, moment=1, axis=0, nan_policy='propagate')

from scipy.stats import moment
x = [1.2, 3.1, 4.6, 2.2, 5.7]

1次（デフォルト），2次，3次，4次の母積率（モーメント）

moment(x), moment(x, 2), moment(x, 3), moment(x, 4)

(0.0, 2.6184, 0.6126720000000052, 11.18588832)

moment(x, [0, 1, 2, 3, 4, 5])

array([ 1.        ,  0.        ,  2.6184    ,  0.612672  , 11.18588832,
        4.79398679])

$\nu_2'$ は母分散(ddof=0）である。

x = [1.2, 3.1, 4.6, 2.2, 5.7]
moment(x, 2), np.var(x)

(2.6184, 2.6184)

利用例

尖度 $g_2$ は 以下のように定義される。

$g_2 = m_4\ /\ m_2^2 - 3$

from scipy.stats import kurtosis
x = [1.2, 3.1, 4.6, 2.2, 5.7]

m4 = moment(x, 4)
m2 = moment(x, 2)
g2 = m4 / m2**2 - 3 # kurtosis(x)
g2, kurtosis(x)

(-1.3684571122281206, -1.3684571122281206)

歪度 $g_1$ は以下のように定義される。

$g_1 = m_3\ /\ m_2^{3/2}$

from scipy.stats import skew
x = [1.2, 3.1, 4.6, 2.2, 5.7]

m3 = moment(x, 3)
m2 = moment(x, 2)
g1 = m3 / m2**(3/2) # skew(x)
g1, skew(x)

(0.14460191499270095, 0.14460191499270095)