はじめに
疲れました.三時間は集中力持ちませんね.ここで,おそらく解けたっていう問題を解説していきたい。
わかっているところだけ解説します.それ以外の問題は解説できません(AIにでも聞いとけ)
大問1
$$
a^{20}+b^{2}+c^{6} = 2026
$$
をみたす正の整数の組(a,b,c)をすべて求めよ.
[解説]
$2^{11}=2048$より、$a$は明らかに$1$。移行してあげると$b^2+c^6=2025$。
$3^6 = 729, 4^6=2^{12}=4096$より,$c \leqq 3$。
(i)$c=1$の場合
$b^2=2024$となる$b$は存在しない.
(ii)$c=2$の場合
$b^2=1961$となる$b$は存在しない.
(iii)$c=3$の場合
$b^2=1296=36^2$より、$b=36$
よって、その組は
$$
\boxed{(a,b,c) = (1,36,3)}
$$
のみ.
大問2
正の整数$n$であって,$[\sqrt{2026}n]$が$n$で割りきれないようなもののうち,最小のものを求めよ.ただし,実数$r$に対して$r$以下の最大の整数を$[r]$で表す.たとえば,$[3.14]=3,[5]=5$である.
[解説]
まず、$45^2(=2025) < 2026 < 46^2(=2116)$。よって、$\sqrt{2026}n$の小数部分をbと置くと,
$$
b = \sqrt{2026} - 45 = \cfrac{1}{\sqrt{2026}+45}
$$
また、$[\sqrt{2026}n]=[(45+b)n]=45n+[bn]$より、$[bn]>1$となれば、与式は$n$では割りきれなそうだ.
ところで、$45 + 45 < \sqrt{2026} + 45 < 46 + 45$より,
$$
\cfrac{90}{\sqrt{2026}+45} < 1,
\cfrac{91}{\sqrt{2026}+45} > 1
$$
したがって、小数部分$b$が$1$を超えるような$n$は,
$$\boxed{n=91}$$
のとき.
大問3
(幾何ですが,画像はめんどくさいので自分で書いてください.)
円周上に5点$A$,$B$,$C$,$D$,$E$がこの順にある.線分$BE$と線分$AC$,$AD$の交点をそれぞれ$P$,$Q$とすると, $BP=PQ=QE$が成り立った.三角形$BCP$,三角形$APQ$,三角形$DEQ$の面積がそれぞれ$2$,$9$,$3$であるとき、$\cfrac{AC}{AD}$の値を求めよ.ただし,$XY$で線分$XY$の長さを表すものとする.
[解説]
$BP=PQ=QE=x(x>0)$と置く。方べきの定理により,
$$
AP \times PC = BP \times PE = 2x^2 \qquad
AQ \times QD = BQ \times QE = 2x^2
$$
を得る.ここで,線分$BE$について,問題文の面積情報より点$A$,$C$,$D$への垂直距離をそれぞれ$h_A,h_C,h_D$とおくと,
$$
\cfrac{1}{2}\times BP \times h_C = 2 \qquad
\cfrac{1}{2}\times PQ \times h_A = 9 \qquad
\cfrac{1}{2}\times QE \times h_D = 3 \qquad
$$
すなわち,
$$h_C = \cfrac{4}{x} \qquad h_A = \cfrac{18}{x} \qquad h_D = \cfrac{6}{x}$$
ここで,線分$AC$と線分$BE$で作られる角は等しい。よって,その角度を$\theta$とおくと,
$$
h_A = AP\sin\theta,\qquad h_C = PC\sin\theta
$$
が成り立つ。したがって,
$$
\frac{AP}{PC}=\frac{h_A}{h_C}
=\frac{\cfrac{18}{x}}{\cfrac{4}{x}}
=\frac{18}{4}
=\frac{9}{2}.
$$
一方, $AP\cdot PC=2x^2$ であるから,
$AP=\cfrac{9}{2}PC$
とおいて代入すると,
$$
\frac{9}{2}PC\cdot PC=2x^2
\quad\Longrightarrow\quad
PC=\frac{2}{3}x,\qquad
AP=3x.
$$
よって,
$$
AC=AP+PC=3x+\frac{2}{3}x=\frac{11}{3}x.
$$
次に, 同様の議論を線分 $AD$ について行う。線分$AD$も $BE$ と一定の角をなすため, 角度を$\phi$とすると,
$$
h_A = AQ\sin\phi,\qquad h_D = QD\sin\phi
$$
より
$$
\frac{AQ}{QD}=\frac{h_A}{h_D}
=\frac{\cfrac{18}{x}}{\cfrac{6}{x}}
=3.
$$
また $AQ\cdot QD=2x^2$ であるから, $AQ=3QD$ とおいて代入すると,
$$
3QD^2 = 2x^2
\quad\Longrightarrow\quad
QD = x\sqrt{\frac{2}{3}},\qquad
AQ = 3x\sqrt{\frac{2}{3}}.
$$
したがって
$$
AD=AQ+QD=4x\sqrt{\frac{2}{3}}.
$$
以上より求める比は
$$
\frac{AC}{AD}
=\frac{\cfrac{11}{3}x}{4x\sqrt{\cfrac{3}{2}}}
=\frac{11}{12}\sqrt{\frac{3}{2}}
=\frac{11\sqrt{6}}{24}.
$$
$$
\boxed{\displaystyle \frac{AC}{AD}=\frac{11\sqrt{6}}{24}}
$$
大問4
各辺の長さが整数である長方形$ABCD$がある。切れ目とは,以下のいずれかをみたす直線のことをいう.
・辺AB上(端点を除く)の点を通り,辺$BC$に平行である.
・辺BC上(端点を除く)の点を通り,辺$AB$に平行である.
いくらかの相異なる切れ目を選んだのち,選んだ切れ目全体で長方形$ABCD$を完全に切り離した.すると,得られたどの小長方形も各辺の長さが$1$以上$9$以下の整数であり,どの相異なる2つの小長方形も合同ではなかった.このとき,長方形$ABCD$の面積としてありうる最大の値を求めよ.
[解説]
長方形の列幅及び行高は$1,2,\ldots,9$のいずれかである.その列幅と行高の集合をそれぞれ
$$
S \in \text{ {$w_1,\ldots,w_n$} } \qquad
T \in \text{ {$h_1,\ldots,h_m$} }
$$
とおく.
ここで,各行幅と各行高は合同にならないため互いに異なる.よって,$S$と$T$に重複する要素は2個以上存在しない.なぜなら,ある$a$と$b$が共通要素であれば,$(a,b),(b,a)$で合同.よって$|S \cap T| \leqq 1$.また,和について以下が成り立つ.
$$
\sum_{x \in S}x+\sum_{y \in T}y=\sum_{x \in S \cup T}x+\sum_{y \in S \cap T}y \leqq 45 + 9 = 54
$$
元の長方形の幅を$W$, 元の長方形の高さを$H$とすると,面積は$WH$.それぞれ
$$
W=\sum_{x \in S}x \qquad H= \sum_{y \in T}y
$$
であることから,$W+H\leqq54$
$$
WH \leqq \Big(\cfrac{W+H}{2}\Big)^2\leqq27^2=729
$$
したがって,
$$
\boxed{729}
$$
大問5
$1$以上$17$以下の整数の組$(x,y,z)$であって,次の条件をみたすものをすべて求めよ.
・$xy+4,yz+5,zx+6,xyz+7$をいずれも割きるような$2$以上の整数が存在する.
[解説]
ある整数を$d \geqq 2$とおく.$mod\space d$で計算しよう.
$$
xy\equiv -4 \qquad yz \equiv -5 \qquad zx \equiv -6 \qquad xyz \equiv -8 \qquad (mod \space d)
$$
ここで,うまいように変形する.
$$
(yz+5)x \equiv xyz + 5x \equiv 0 \quad\Longrightarrow\quad xyz \equiv -5x \qquad (mod \space d)
$$
$$
(zx+6)y \equiv xyz + 6y \equiv 0 \quad\Longrightarrow\quad xyz \equiv -6z \qquad (mod \space d)
$$
$$
(xy+4)z \equiv xyz + 4z \equiv 0 \quad\Longrightarrow\quad xyz \equiv -4z \qquad (mod \space d)
$$
$xyz \equiv -7$より,
$$
-4z \equiv -7 \quad\Longrightarrow\quad 4z \equiv 7 \qquad (mod \space d)
$$
同様にして, $5x \equiv 7 \space (mod \space d),6y \equiv 7 \space (mod \space d)$
ここで,
$$
(5x)(6y) = 30xy \equiv 49 \space (mod \space d) \qquad xy \equiv -4 \qquad (mod \space d) $$より,$$30(-4) \equiv 49 \quad\Longrightarrow\quad 169 \equiv 0 \qquad (mod \space d) $$したがって,$d = 13, 169$のみ.
(i)$d=13$の場合
$5x \equiv 7\space (mod \space 13) ,6y \equiv 7\space (mod \space 13) , 4z \equiv 7\space (mod \space 13)$を解くと,
$x \equiv 4\space (mod \space 13) ,y \equiv 12\space (mod \space 13) , z \equiv 5\space (mod \space 13)$
したがって,題意を満たす解は$(x,y,z) = (4, 12, 5), (17, 12, 5)$
(ii)$d=169$の場合
$5x−7$の絶対値は最大でも$5⋅17−7=78<169$のため,$5x≡7\space (mod169)$ を満たすには $5x−7=0$でなければならないが$5x=7$は整数解を持たない。よって$d=169$は不可能である。
したがって,
$$
\boxed{(x,y,z) = (4, 12, 5), (17, 12, 5)}
$$
大問6
平行四辺形$ABCD$の辺$CD$上(端点を除く)に点$E$がある.線分$AE$の中点を$M$とし,直線$BM$と辺$AD$の交点を$F$とすると,$CE=DF=3$が成り立った. $MB=5, MC=4$のとき,線分$AB$の長さを求めよ.ただし,$XY$で線分$XY$の長さを表すものとする.
大問7
円形の湖の周りに$2026$台のベンチが等間隔で並んでおり,はじめそれぞれのベンチに生徒が$1$人ずつ湖に背を向けて座っている.先生が$0$人以上$2026$人以下の生徒を選び,その後それぞれの生徒は次のように行動した.
・先生に選ばれた生徒は,自分のうわっているベンチの$1$台右にあるベンチへ移動して座る.
・先生に選ばれなかった生徒は,自分の座っているベンチの$2$台左にあるベンチへ移動して座る.
すべての生徒が行動を終えたとき,1人以上の生徒が座っているベンチがちょうど2000台となるように,先生が生徒を選ぶ方法は何通りあるか.
大問8
正の整数からなる数列$a_1,a_2,\ldots$はどの$2$項も相異なり,次の条件をみたしている
・$a_i = 36, a_j = 3750$をみたす正の整数$i,j$が存在する.
・任意の正の整数$n$に対し,$a_{n+1}$は$\sum_{k=1}^n (-1)^{(k-1)}a_k$の倍数である.
このとき,$a_{20}$としてありうる最小の値を求めよ.ただし,整数$x$が整数$y$の倍数であるとは,$x=my$が成り立つような整数$m$が存在することをいう.
大問9
$AB=AC$なる二等辺三角形$ABC$は$BC=21$をみたしている.辺$BC,CA,AB$上(端点を除く)にそれぞれ点$D,E,F$を$\angle EDF=180^\circ - \frac{1}{2}\angle BAC$をみたすようにとる.線分$BD$の垂直二等分線と直線$DE$の交点を$P$とし,線分$CD$の垂直二等分線と直線$DF$の交点を$Q$とする.さらに直線$BP$と直線$CQ$の交点を$R$とすると,$EP=12,FQ=16,AR=6\sqrt{7}$が成りたった.このとき,三角形$DPQ$の面積を求めよ.
ただし,$XY$で線分$XY$の長さを表すものとする.
大問10
$n$を正の整数とする.$xy$平面において,$x$座標と$y$座標がともに$0$以上$n$以下の整数である点を良い点とよぶ.次の$2$つの条件をともに満たす凸$101$角形$P_1P_2\cdots P_{101}$が存在するような$n$としてありうる最小の値を求めよ.
・任意の$1$以上$101$以下の整数$i$について,$P_i$は良い点である.
・任意の$1$以上$101$以下の整数$i$について,$P_i$の$x$座標と$P_{i+1}$の$y$座標が等しい.ただし,$P_{102} = P_1$とする.
ただし,凸$101$角形とは,自己交差を持たない$101$角形であって,すべての内角が$180^\circ$未満であるものをさす.
大問11
$1$以上$20$以下の整数の組$(a_1,a_2,\ldots ,a_{20})$であって,次の条件をみたすものはいくつあるか.
・$1\leqq i< j \leqq 26$をみたす整数の組$(i,j)$であって,
$$
a_1+a_2+\cdots+a_i=a_j+a_{j+1}+\cdots+a_{26}
$$
をみたすものがちょうど$1$つ存在する.
大問12
正の整数$x,y,z$は$x^xy^y=z^{20x+26y}$をみたしている.$\cfrac{x}{z^{25}}$が整数であり,$\cfrac{y}{z^{25}}$が整数でないとき,$z$としてありうる最小の値を求めよ.