はじめに

従来の考えでは、パラメータ数を多くすると過学習につながると言われていました。
しかし、近年パラメータ数を多くしても過学習しない現象（二重降下）が発見されました。
今回は二重降下に関連する論文である、
"High-dimensional dynamics of generalization error in neural networks"を紹介します！

本記事はQiita Engineer Festa 2022への投稿です。

二重降下とは

まず、二重降下を紹介します。
二重降下については別の論文（Reconciling modern machine learning practice and the bias-variance trade-off）の図が分かりやすいので、そちらを引用します。

左の図は過学習に関する従来の考えを図にしたものです。
学習を進めていくと学習誤差/汎化誤差ともに下がっていきますが、
ある時を境に汎化誤差が上がっていってしまいます。これが過学習です。

次に二重降下です。
右の図のように、一度上がってしまった汎化誤差がover-parameterized時に下がっています！
つまり、パラメータ数がデータ数より多くても過学習はしないということです。
この不思議な現象が「二重降下（Double Descent）」です。
今回紹介する論文は、この現象が生じる理由をデータ数とパラメータ数の関係から説明しています。

パラメータ数と過学習の関係

パラメータ数と過学習の関係をまとめた図が下記の図です。

αは「サンプル数(P)/パラメータ数(N)」を表しています。
（Pがサンプル数ってややこしいですね）
これらの内容を整理します。

「α=2（サンプル数>パラメータ数）」の時、最も汎化性能が高い。
「α=1（サンプル数=パラメータ数）」の時、汎化性能が徐々に悪化している（過学習）。
「α=1/2（サンプル数<パラメータ数）」の時、過学習は起きていない（悪化しない）。

従来の考え通り、パラメータ数が少ないときが最も良い汎化性能を出していますね。
一方α=1のときは、徐々に汎化誤差が悪化しています。

さて、本題の「α=1/2（サンプル数<パラメータ数）」ではどうでしょうか？
「α=2」の時より汎化性能は劣りますが、「α=1」のように汎化性能は悪化していません。
つまり、パラメータ数がデータ数よりも多いときでも、過学習は起きていないのです！
なぜこのようなことが起きるのでしょうか？

二重降下が生じる理由

論文の筆者はこの現象を"Eigen gap"と"Frozen subspace"で説明しています。

Eigen gap

Eigenとは固有値（eigen value）のことで、この固有値の分布が重要です。
なぜなら固有値が過学習に大きな影響を与えるからです。
それを理解するため、下記の式をご覧ください。
これは「学習回数とともに変化する誤差関数」を表す式です。

2行目のΣ内の第二項はOverfit noiseを表しており、分母には固有値λがあります。
固有値λの値によってOverfit noiseの大きさ、そして全体の誤差の大きさが決まることが分かります。

それでは、サンプル数とパラメータ数の関係ごとに固有値分布を確認しましょう。

「α=1」の固有値分布（過学習が生じるときの分布）
「α=1」の分布では0に限りなく近い値を多くとっています。
これにより先ほどのOverfit noiseが大きくなり、過学習につながったのです。
「α=2」の固有値分布（最も汎化性能の高くなるときの分布）
λ=0付近をよく見ると、横棒が見えると思います。
これは固有値λが0に限りなく近い値を取っていない（gapがある）ことを表します。
つまり、「サンプル数>パラメータ数」の時はEigen gapがあり、固有値λが0に近い値をとらず、
Overfit noiseが大きくなりにくかったため、汎化性能が高くなっているのです。

Frozen subspace

最後に、本題の「サンプル数<パラメータ数（α=1/2）」の固有値分布を確認しましょう。

「α=1/2」の固有値分布
- Eigen gapがある
- 固有値λが0を取っている。

固有値が0を取ると、学習中に学習が進まないことがあります。
学習が進まないということは、汎化性能はよくならないし、悪くもなりません。
この「学習が進まない」というFrozen subspaceが汎化性能の悪化を防いでいると、筆者は考えています。

まとめ

以上より、パラメータ数がデータ数よりも多いときに過学習が起こらない理由は、
「Eigen gap」と「Frozen subspace」が働いているからと言えます。
この発見は、パラメータ数が増大しやすい画像データなどを扱うときに役立ちそうですね！

本記事はここまでです。
お読みいただきありがとうございました。

P.S.
内容に誤りがございましたら、お手数ですがご指摘いただけますと幸いです。

パラメータ数が多くても過学習しない！？～二重降下～